La construcción de números reales por secuencias de Cauchy es una de las construcciones estándar.
Una secuencia de números racionales es una función [math] \ mathbf N \ to \ mathbf Q, [/ math] y desea considerar muchas secuencias, por lo que deberá mostrar desde los axiomas de ZFC que si dos conjuntos [math ] A [/ math] y [math] B [/ math] existen, entonces el conjunto [math] B ^ A [/ math] de funciones de [math] A [/ math] a [math] B [/ math] También existe.
Ahora sabes que existe el conjunto de todas las secuencias racionales. A continuación, defina lo que significa que una de esas secuencias sea una secuencia de Cauchy. Una vez que tenga eso, los axiomas de ZFC le permiten concluir que el conjunto de todas las secuencias de Cauchy existe porque es un subconjunto de todas las secuencias definidas por un predicado (que es Cauchy).
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A continuación, defina lo que significa que dos secuencias de Cauchy sean equivalentes y demuestre que es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las secuencias de Cauchy. Deberá mostrar a partir de los axiomas de ZFC que si [math] A [/ math] es un conjunto y [math] \ equiv [/ math] es una relación de equivalencia en [math] A, [/ math] entonces hay un conjunto de clases de equivalencia [math] A / {\ equiv}. [/ math] Ese conjunto de clases de equivalencia será su conjunto de números reales [math] \ mathbf R. [/ math]
Luego deberá definir las operaciones de suma y multiplicación en [math] \ mathbf R [/ math] y verificar que obtiene un campo. Luego defina la relación [math] <[/ math] en [math] \ mathbf R [/ math] y demuestre que tiene un campo ordenado, y luego demuestre que es un campo ordenado completo.
Luego has construido un modelo de los números reales. Puede tomarlo como los números reales si lo desea, porque si tiene cualquier otro campo ordenado completo, existe un isomorfismo único entre ese campo ordenado completo y su [math] \ mathbf R. [/ Math]
