Hay una buena pregunta por qué entendemos por conjunto más grande. Puedo llegar a eso más tarde
Veamos algunas series tomadas de series convergentes.
- La serie armónica [matemáticas] {1 \ over 1} + {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 4} + {1 \ over 5} + {1 \ over 6} + \ cdots \ rightarrow \ infty. [/matemáticas]
- Los recíprocos de los números primos son series divergentes [matemáticas] {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 5} + {1 \ over 7} + {1 \ over 11} + {1 \ over 13} + \ cdots \ rightarrow \ infty. [/ Math]
- Los recíprocos de los números triangulares son convergentes [matemática] {1 \ sobre 1} + {1 \ sobre 3} + {1 \ sobre 6} + {1 \ sobre 10} + {1 \ sobre 15} + {1 \ sobre 21 } + \ cdots = 2. [/ math]
- Los recíprocos de los factoriales son convergentes [matemática] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {24} + \ frac {1} {120} + \ cdots = e. [/ Math]
- Los recíprocos de los números cuadrados son convergentes [matemática] {1 \ sobre 1} + {1 \ sobre 4} + {1 \ sobre 9} + {1 \ sobre 16} + {1 \ sobre 25} + {1 \ sobre 36 } + \ cdots = {\ pi ^ 2 \ over 6}. [/ math] (el problema de Basilea)
- Los recíprocos de poderes de 2 son convergentes [matemática] {1 \ sobre 1} + {1 \ sobre 2} + {1 \ sobre 4} + {1 \ sobre 8} + {1 \ sobre 16} + {1 \ over 32} + \ cdots = 2. [/ Math]
- Los recíprocos de los números de Fibonacci son series convergentes [matemáticas] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac { 1} {5} + \ frac {1} {8} + \ cdots = \ psi. [/matemáticas]
La pregunta de mayor es básicamente ¿cuál de los conjuntos de números triangulares (Tri), factoriales (Fac), números cuadrados (Sq), potencias de 2 (Pow), números de fibonancci (Fib) es mayor?
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Una forma de considerar esto define una función [matemática] \ phi (S, n) = [/ matemática] [el número de elementos del conjunto S son menores que n} inspirados por la función de conteo principal. Podríamos definir una noción de conjunto más grande usando esta función si [math] \ phi (A, n)> \ phi (B, n) [/ math] para todos los grandes n podríamos decir que A es más grande que B. Eso es para dado que hay más elementos en A que en B.
Podemos encontrar [math] \ phi [/ math] para cada uno de estos conjuntos: cuadrados [math] \ phi (Sq, n) = floor (\ sqrt {n}) [/ math], potencias de 2 [math] \ phi (Pow, n) = floor (\ log_2 {n}) [/ math], los factoriales son del orden [math] k! <k ^ k [/ math] lo inverso de esto es complicado. Los números triangulares son del mismo orden que los cuadrados para n grande y los números de Fibonacci son aproximadamente [matemática] F_k \ aprox a ^ k [/ matemática] tan similar a la potencia de 2.
Comparando estos, vemos [math] \ phi (Sq, n)> \ phi (Pow, n)> \ phi (Fac) [/ math]. Entonces, de acuerdo con esta definición de más grande, el recíproco de los cuadrados y los números de triángulo son los más grandes.
Esta pregunta está relacionada con el concepto de conjuntos pequeños. Mirando ese artículo hay una serie llamada serie Kempner que se forma a partir de la serie armónica omitiendo todos los términos cuyo denominador expresado en la base 10 contiene un dígito de 9. Entonces es como [matemáticas] {1 sobre 2} + {1 sobre 3} +… {1 sobre 8} + {1 sobre 10} + \ ldots + {1 sobre 18} + \ ldots [/ math]. Esta serie en realidad converge a aproximadamente 22.9. Ciertamente supera a todos los demás por mi definición de amplitud.
