Eudoxo (408–355)
La definición de Eudoxus de proporciones iguales es el antecedente de la construcción de Dedekind de los reales a partir de números racionales. De hecho, son casi lo mismo, excepto que Eudoxus asumió que la proporción ya existía, y Dedekind lo hizo existir incluso si no se había dado cuenta antes.
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En el tiempo de Eudoxus, los únicos números eran enteros positivos. 1, 2, 3, 4, etc. No había “números racionales” formales en ese momento.
Las magnitudes de Eudoxo
Las magnitudes incluyen cosas como segmentos de línea; anglos; figuras planas como triángulos, cuadrados y círculos; y sólidos como cubos y esferas. Tenga en cuenta que sus figuras de avión se completaron; no eran solo límites. También sus cubos y esferas eran sólidos. Son cuatro tipos diferentes de magnitudes: líneas, ángulos, figuras planas y sólidos. Había otros tipos, pero eso es suficiente para hacer la mayor parte de la geometría euclidiana.
Dadas dos de esas magnitudes del mismo tipo, podría compararlas. Sabía lo que significaba decir que A es menor, igual o mayor que B. En términos modernos, diríamos que las magnitudes de cualquier tipo forman un conjunto totalmente ordenado.
Además, podría sumar magnitudes del mismo tipo. En particular, podría agregar múltiplos de la misma magnitud, como A + A + A y B + B + B + B, como 3 elipses y 4 triángulos. 
Y dado que tenía números enteros positivos, podría sumar cualquier múltiplo de ellos, como nA y mB. Y él podría comparar esos múltiplos. Sabía lo que significaba decir que nA es menor, igual o mayor que mB.
Pero sí tenía proporciones de magnitudes del mismo tipo. Consideró la relación A: B de dos magnitudes del mismo tipo, como dos segmentos de línea, o dos regiones planas, o dos ángulos, o dos sólidos.
Además, podría sumar magnitudes del mismo tipo. En particular, podría agregar múltiplos de la misma magnitud, como A + A + A y B + B + B + B. Y dado que tenía números enteros positivos, podría sumar cualquier múltiplo de ellos, como nA y mB. Y él podría comparar esos múltiplos. Sabía lo que significaba decir que nA es menor, igual o mayor que mB.
Ratios de Eudoxo
Eudoxus podría tomar proporciones de dos cosas del mismo tipo. Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado a su lado. Pensamos que esa relación es un número real, es decir, la raíz cuadrada de 2, pero no era un número de Eudoxus. Las proporciones tuvieron que ser nombradas por dos magnitudes A y B del mismo tipo. Denotaré una relación como A: B.
Eudoxus compara proporciones
Como Eudoxus podía comparar cualquier múltiplo, nA y mB, podía definir qué significaba que dos razones fueran iguales.
Su definición está en Elementos de Euclides, Libro V, Definiciones 5 y 6. En esa definición, definió cuándo una relación A: B de dos magnitudes A y B de un tipo era igual a la relación C: D de dos magnitudes C y D de otro tipo (o del mismo tipo que A y B ):
La relación A: B es igual a la relación C: D significa que
para todos los enteros positivos myn
si nA> mB, entonces nC> mD,
si nA = mB, entonces nC = mD, y
si nA <mB, entonces nC <mD.
Eudoxus también definió lo que significaba que la relación A: B fuera menor que la relación C: D , y también que fuera mayor.
Con esas definiciones, se deduce que la relación A: B es menor que la relación numérica m: n si y solo si nA <mB, igual a m: n si y solo si nA = mB, y mayor que m: n si y solo si nA> mB.
Entonces, su definición puede reformularse diciendo que A: B es igual a C: D si y solo si A: B se compara con todas las razones numéricas m: n de la misma manera que C: D.
Las proporciones de Eudoxus definen cortes
Ahora tenemos números racionales, y podemos identificar la relación numérica de Eudoxus m: n como el número racional positivo m / n. Luego, cada relación A: B corta los números racionales en dos conjuntos: un conjunto de la izquierda que consiste en esas razones m / n menores o iguales que A: B, y un conjunto de la derecha que consiste en esas razones m / n mayores que A: B.
Entonces, podemos decir que cualquiera de las proporciones de Eudoxus define un corte de los números racionales positivos.
Contribuciones de Dedekind
Lo que hizo Dedekind (1831–1916) fue definir un número real como un corte de los números racionales en un conjunto de izquierda y derecha, independientemente de si ese corte se realizó o no por una de las proporciones de magnitudes de Eudoxus. (Dedekind también incluyó números racionales cero y negativos. Eudoxus nunca había considerado cero o magnitudes negativas)
