Parece que solo piensa en una integral como lo opuesto a una derivada, que es válida, pero por lo tanto, pierde los beneficios intuitivos que los diferentes métodos de pensamiento pueden brindarle.
Una integral, en una definición de suma de Riemann diferente, es una representación de un área bajo una curva (más bien es el área entre la curva y el eje x) a medida que evalúa el límite de la base del rectángulo (o cualquier forma). tiende hacia cero
Veamos qué significa esto. Aproximamos el área bajo una curva sumando muchos rectángulos de una base común (en este caso) entre dos límites, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática].
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Llamemos a esta función [math] f \ left (x \ right) [/ math]. La base de estos rectángulos los llamaremos [matemática] \ Delta x = \ frac {ba} {n} [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática] es el número de rectángulos dentro de los límites que especificamos (nosotros ‘ Volveré a esto más adelante, pero la integral es [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} [/ matemáticas]. Entonces, ¿cuál es el área de esta astilla de nuestro gráfico, para un solo rectángulo? Base [matemática] \ cdot [/ matemática] altura.
Para el rectángulo [math] i-th [/ math]
[matemáticas] A \ left (i \ right) _ {sliver} = height \ cdot base = f \ left (a + i \ Delta x \ right) \ Delta x [/ math]
Luego, al sumar todas estas áreas, obtienes (con suma / notación Sigma):
[matemática] S \ left (n \ right) = \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} A \ left (i \ right) [/ math]
[matemáticas] S \ left (n \ right) = \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} f \ left (a + i \ Delta x \ right) \ Delta x [/ math]
Esta [matemática] S \ izquierda (n \ derecha) [/ matemática] es entonces una función del área bajo la curva [matemática] f \ izquierda (x \ derecha) [/ matemática] en el intervalo [matemática] \ izquierda [ a, b \ right] [/ math]. Entonces, ¿qué sucede si haces [math] n [/ math] reallllllllllly (infinitesimalmente) pequeño? Encuentra el área real, no una aproximación.
La suma va a [matemáticas] n-1 [/ matemáticas], por cierto, porque esta es una “aproximación del punto final izquierdo”, y no querríamos incluir ambos puntos finales y agregar un área adicional.
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} S \ left (n \ right) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} f \ left (a + i \ Delta x \ right) \ Delta x [/ math]
¡Esa es (una de) las definiciones de la integral definida de a a b!
Así que apliquemos esto a una función y supongamos que [matemática] f \ left (x \ right) = 3x ^ 2 [/ math] y estamos encontrando el área bajo la curva (integración) en [math] [0, b ][/matemáticas]
Para más tarde: [matemáticas] \ int_0 ^ b {3x ^ 2} = \ izquierda [x ^ 3 \ derecha] _0 ^ b = b ^ 3 [/ matemáticas]
Usando nuestra definición recién encontrada:
[matemáticas] S \ left (n \ right) = \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} f \ left (a + i \ Delta x \ right) \ Delta x [/ math]
[matemáticas] \ Delta x = \ frac {ba} {n} = \ frac {b} {n} [/ matemáticas]
[matemáticas] S \ left (n \ right) = \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} f \ left (i \ frac {b} {n} \ right) \ frac {b} {n} [ /matemáticas]
[matemáticas] S \ left (n \ right) = 3 \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {i \ cdot b} {n} \ right) ^ 2 \ frac {b} {n} [/ matemáticas]
[matemáticas] S \ left (n \ right) = 3 \ left (\ frac {b} {n} \ right) ^ 3 \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} i ^ 2 [/ math]
Y por algunas sumas de expresiones polinómicas de Wikipedia 🙂
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {n \ left (n + 1 \ right) \ left (2n + 1 \ right)} {6} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas]
[matemáticas] S \ left (n \ right) = 3 \ left (\ frac {b} {n} \ right) ^ 3 \ frac {n \ left (n-1 \ right) \ left (2n-1 \ right )} {6} [/ math] (subtitulado para [math] n-1 [/ math])
[matemáticas] S \ left (n \ right) = 3 \ frac {b ^ 3} {n ^ 3} \ frac {\ left (n ^ 2-n \ right) \ left (2n-1 \ right)} { 6} [/ matemáticas]
[matemática] S \ izquierda (n \ derecha) = 3 \ frac {b ^ 3} {n ^ 3} \ frac {2n ^ 3-3n ^ 2 + n} {6} [/ matemática]
[matemáticas] S \ left (n \ right) = 3 \ frac {b ^ 3} {6} \ frac {2n ^ 3-3n ^ 2 + n} {n ^ 3} [/ math]
[matemática] S \ left (n \ right) = \ frac {1} {2} b ^ 3 \ frac {2n ^ 3-3n ^ 2 + n} {n ^ 3} [/ math]
Entonces eso es [matemática] S \ left (n \ right) [/ math]. Ahora tomemos el límite como [math] {n \ to \ infty} [/ math] para encontrar el área real.
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} S \ left (n \ right) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {2} b ^ 3 \ frac {2n ^ 3-3n ^ 2 + n} {n ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} S \ left (n \ right) = \ frac {1} {2} b ^ 3 \ cdot 2 [/ math]
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} S \ left (n \ right) = b ^ 3 [/ math]
Son iguales Una integral es, entre otras interpretaciones, una forma de evaluar el área entre una curva y el eje x
Tenga en cuenta que si bien el área puede usarse para calcular el área bajo una curva, en realidad no cambia las dimensiones de una curva con unidades (multiplicando por la altura). Esto se debe a que una integral es efectivamente una suma. Sumas todos los fragmentos de área para igualar el área completa.
Espero que no haya sido demasiado largo y realmente haya sido ayudado por cierto.
