¿Existe una solución analítica para log (t) – At = B?

Eso depende de si considera que el uso de la función Lambert W está cerrado. En caso de que lo haga, entonces sí.

Supongamos que [math] \ log (x) [/ math] se refiere a cualquier base, [math] \ log_N (x) [/ math], por lo que debemos hacer un poco de álgebra para resolver x.

En caso de que no sepa cuál es la función Lambert W, es la solución para la ecuación [math] y = xe ^ {x} [/ math], que significa [math] x = W (y) [/ math].

Con eso fuera del camino, resolvemos [math] \ log_N (x) – ax = b [/ math] para x, así es como lo hago.

Primero, toma ambos lados y elevalos a la potencia N (la base de registro)

[matemática] N ^ {\ log_N (x) -ax} = N ^ b [/ matemática]

El uso de propiedades de exponentes y logaritmos

* [Usamos la identidad [matemática] a ^ {m + n} = a ^ m * a ^ n [/ matemática] [matemática] (1) [/ matemática]]

[matemáticas] N ^ {\ log_N (x)} * N ^ {- ax} = N ^ b [/ matemáticas]

* [Usamos la identidad [matemática] a = b ^ {\ log_b (a)} [/ matemática] [matemática] (2) [/ matemática]]

[matemáticas] e ^ {\ ln (N ^ {\ log_N (x)} * N ^ {- ax})} = N ^ b [/ matemáticas]

* [Aquí usamos la identidad [math] \ log (ab) = \ log (a) + \ log (b) [/ math] [math] (3) [/ math]]

[matemáticas] e ^ {\ ln (N ^ {\ log_N (x)}) + \ ln (N ^ {- ax})} = N ^ b [/ matemáticas]

* [Utilizamos la identidad [matemática] (1) [/ matemática]]

[matemáticas] e ^ {\ ln (N ^ {\ log_N (x)})} * e ^ {\ ln (N ^ {- ax})} = N ^ b [/ matemáticas]

* [Entonces usamos la identidad [math] \ log (a ^ b) = b \ log (a) [/ math] [math] (4) [/ math]]

[matemáticas] e ^ {\ log_N (x) \ ln (N)} * e ^ {- ax \ ln (N)} = N ^ b [/ matemáticas]

* [Entonces las [matemáticas] a ^ {bc} = \ left (a ^ {b} \ right) ^ c [/ math]]

[matemáticas] (e ^ {\ ln (N)}) ^ {\ log_N (x)} * e ^ {- ax \ ln (N)} = N ^ b [/ matemáticas]

[matemáticas] N ^ {\ log_N (x)} * e ^ {- ax \ ln (N)} = N ^ b [/ matemáticas]

[matemáticas] xe ^ {- ax \ ln (N)} = N ^ b [/ matemáticas]

Multiplique ambos lados por [math] -a \ ln (N) [/ math] (Para completar el formulario de la función Lambert W)

[matemática] -ax \ ln (N) e ^ {- ax \ ln (N)} = -a \ ln (N) N ^ b [/ matemática]

Luego definimos [math] y = -ax \ ln (N) [/ math]

[matemáticas] ye ^ y = -a \ ln (N) N ^ b [/ matemáticas]

[matemáticas] y = W (-a \ ln (N) N ^ b) [/ matemáticas]

[matemáticas] -ax \ ln (N) = W (-a \ ln (N) N ^ b) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {W (-a \ ln (N) N ^ b)} {- a \ ln (N)} [/ matemáticas]