¿Cómo se construye el if usando la lógica? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

Hay dos respuestas en su pregunta.

Corto

Simplemente use la implicación material en lugar de “si” y sea feliz. Esto lo ayudará si desea tratar solo con declaraciones formales o al menos formalizadas. Sin embargo, una vez que pase al lenguaje natural, se verá obligado a admitir como verdaderas oraciones como “si 2 + 2 = 5, entonces los aviones pueden volar”. Claro, los aviones pueden volar. Pero dudo que puedan volar porque 2 + 2 = 5. Esto significa que usted es incapaz de formalizar “si” con una lógica consistente.

Largo

Sin embargo, hay un enfoque diferente. Necesitamos una noción de descripción generalizada del estado y un tipo especial de lógica (lógica de relevancia FDE) en un lenguaje proposicional sobre [matemáticas] \ {\ wedge, \ vee, \ neg \} [/ matemáticas].

Deje que [math] \ mathcal {F} [/ math] sea una fórmula proposicional. Entonces, una descripción de estado generalizada será cualquier subconjunto del conjunto de todas sus variables proposicionales únicas tomadas tanto en su forma positiva como negativa. Por ejemplo, para una fórmula [matemáticas] p_1 \ wedge (p_1 \ vee p_2) [/ matemáticas], el conjunto de todas sus descripciones de estado generalizadas será precisamente [matemáticas] \ matemáticas {P} (\ {p_1, \ neg p_1, p_2, \ neg p_2 \}) [/ math]. De esta definición vemos que hay algunas descripciones de estado que son inconsistentes (por ejemplo, [matemáticas] \ {p_1, \ neg p_1, p_2 \} [/ matemáticas]) e incompletas (por ejemplo, [matemáticas] \ {p_1 \} [/ matemáticas ]). Denotaremos una descripción de estado con [math] \ mathfrak {S} [/ math] y un conjunto de todas las descripciones de estado de una fórmula dada [math] A [/ math] como [math] \ mathcal {D} _ {A }[/matemáticas].

Ahora definiremos la evaluación de la verdad para todas las fórmulas en nuestro idioma:

una fórmula atómica (variable proposicional) [math] \ gamma [/ math] es verdadera en una descripción de estado [math] \ mathfrak {S} [/ math] iff [math] \ gamma \ in \ mathfrak {S} [/ math ] y falso iff [math] \ neg \ gamma \ in \ mathfrak {S} [/ math];
[math] \ neg \ gamma [/ math] es verdadero en [math] \ mathfrak {S} [/ math] si [math] \ gamma [/ math] es falso en [math] \ mathfrak {S} [/ math ] y falso iff [math] \ gamma [/ math] es verdadero en [math] \ mathfrak {S} [/ math];
[math] \ gamma_1 \ wedge \ gamma_2 [/ math] es verdadero en [math] \ mathfrak {S} [/ math] iff tanto [math] \ gamma_1 [/ math] como [math] \ gamma_2 [/ math] son verdadero en [math] \ mathfrak {S} [/ math] y falso si al menos uno de ellos es falso;
[math] \ gamma_1 \ vee \ gamma_2 [/ math] es verdadero en [math] \ mathfrak {S} [/ math] si al menos uno de ellos es verdadero en [math] \ mathfrak {S} [/ math] y falso si ambos son falsos.

Denotaremos la evaluación de una fórmula [math] A [/ math] en una descripción de estado [math] \ mathfrak {S} [/ math] como [math] | A | ^ {\ mathfrak {S}} [/ math] . La verdad y la falsedad se denotarán con sus respectivas primeras letras.

Está claro que bajo tal definición de evaluación de la verdad no hay fórmulas universalmente verdaderas (y universalmente falsas) que usen solo conectores [matemáticos] \ {\ wedge, \ vee, \ neg \} [/ matemáticos].

Ahora definiremos la vinculación relevante: [matemáticas] A \ vDash _ {\ mathrm {FDE}} B \ Leftrightarrow \ forall \ mathfrak {S} (\ mathfrak {S} \ in \ mathcal {D} _ {A} \ cup \ matemática {D} _ {B} \ Rightarrow (| A | ^ {\ mathfrak {S}} \ Rightarrow | B | ^ {\ mathfrak {S}})) [/ math]. Se puede ver que [matemáticas] A \ not \ vDash _ {\ mathrm {FDE}} B \ vee \ neg B [/ math] y [math] A \ wedge \ neg A \ not \ vDash _ {\ mathrm {FDE}} B [/ matemáticas]. Además, para que una fórmula sea implicada por otra, deben compartir algunas variables proposicionales. En otras palabras, la implicación relevante no tiene ninguna de las propiedades paradójicas de la implicación material.

LógicaMatemáticas