¿Qué hecho matemático probado te sorprendió más cuando lo aprendiste?

Monty Hall Problema.

Me presentaron este problema cuando leía un artículo sobre cuán defectuoso a veces puede ser el sentido común y la sabiduría convencional.

El problema es el siguiente.

Suponga que está en un programa de juegos y le dan la opción de tres puertas: detrás de una puerta hay un automóvil; detrás de los demás, cabras. Usted elige una puerta, dice No. 1, y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta, dice No. 3, que tiene una cabra. Luego te dice: “¿Quieres elegir la puerta número 2?” ¿Le conviene cambiar su elección?

La mayoría de nosotros pensaría que las posibilidades de obtener un automóvil ahora son 50:50 ya que ya sabemos que hay una cabra en una de las puertas y, las dos puertas sin abrir tienen un automóvil y una cabra cada una. Entonces, la lógica dice que no importaría si cambiamos la puerta o nos limitamos a nuestra elección original, ¿verdad?

Mal !

¡Resulta que cambiar la puerta siempre tiene el 66.6% de ganar el auto y permanecer en la elección original tiene el 33.3%!

Este problema tiene una historia muy interesante.

Este problema fue abordado por primera vez por una señora llamada Marilyn vos Savant que una vez tuvo el récord mundial Guinness por tener el coeficiente intelectual más alto. Su solución fue cambiar las puertas, lo que entonces generó muchas críticas y, según los informes, recibió miles de cartas diciéndole que estaba equivocada. Esto incluyó a muchos matemáticos que tenían doctorado en matemáticas. Pero ella tenía razón.

Esta solución es tan contra intuitiva. Cada vez que leo sobre eso, me sorprende.

La belleza de este problema es que puedes recrear el resultado en casa con naipes. Elija dos tarjetas para las cabras (las mismas tarjetas, por supuesto, como 5 de diamantes) y una tarjeta para el automóvil.

Elige 1 carta aleatoria, similar a elegir una puerta aleatoria. Ahora tienes dos cartas distintas a la que has elegido. Ahora elija y despliegue la tarjeta que designó como cabra (como cómo el anfitrión abre la puerta que tiene una cabra detrás). Ahora tienes dos cartas dobladas. Uno, que ha elegido y el otro al que puede cambiar como opción.

Cambie su tarjeta y descubrirá que de cada 10 veces que realice este experimento con la tarjeta, obtendrá la tarjeta designada como automóvil 6 veces. Hice esto y pude reproducir el resultado.

Guau. Me refiero a WOW!

Comprender el problema de Monty Hall

Problema de Monty Hall – Wikipedia

No estoy seguro de que este sea el hecho más sorprendente que he aprendido, pero está ahí arriba:

Que bajo la mayoría de las definiciones de aritmética, “Para todos n, n veces 0 = 0” no necesita ser un axioma. Puede probarse a partir de axiomas más fundamentales de la siguiente manera:

Sea X el inverso aditivo de n veces 0. (Este paso no es necesario, pero hace que la siguiente prueba sea un poco más fácil de seguir).

Luego:

= (n veces 0) + 0 [regla de identidad aditiva]

= (n veces 0) + ((n veces 0) + X) [regla inversa aditiva]

= ((n veces 0) + ((n veces 0)) + X [asociatividad de adición]

= (n veces (0 + 0)) + X [distribución de la suma sobre la multiplicación]

= (n veces 0) + X [regla de identidad aditiva]

= 0 [regla inversa aditiva]

Una cosa sorprendente y contrastante es que “0 no es igual a 1” debe ser un axioma. (Como en, la identidad aditiva no es la misma que la identidad multiplicativa). Si no lo asume, entonces toda la aritmética se colapsa en un sistema donde solo hay un número único en el universo y todo es igual a él.

Un hecho matemático que continúa sorprendiéndome es el “Teorema fundamental de la aritmética”, aunque he explicado la prueba muchas veces a las clases de estudiantes universitarios que pretenden ser estudiantes de matemáticas. Aunque se llama “fundamental”, la mayoría de la gente nunca ha oído hablar de él, aunque todos los estudiantes de secundaria realmente deberían saberlo (incluso si no están preparados para entender su prueba).

Hay dos partes en el teorema. El primero es que cada entero positivo puede escribirse como un producto de números primos. Eso es algo que muchos estudiantes aprenden en la escuela, más o menos; por ejemplo, pueden escribir 100 como 2 * 5 * 2 * 5.

Puede objetar y decir que 11 no es un producto de primos. Pero, desde el punto de vista de los matemáticos, 11 es el “producto” de un primo, a saber, 11; entonces, por convención, acordamos que cada primo se considera un “producto” de primos.

La segunda parte del teorema es que cada número puede escribirse como un producto de primos de una manera única. Eso no es del todo cierto, porque 6 puede escribirse como 2 * 3 y 3 * 2. Sin embargo, si ignoramos el orden en que se multiplican los números primos, cada entero positivo se puede escribir de una manera única como un producto de números primos.

Eso para mí sigue siendo sorprendente. Me gustaría pensar que hay algún número renegado, tal vez con 50 dígitos, que se puede factorizar de dos maneras completamente diferentes. ¿Por qué es tan irrazonable?

No es del todo obvio que no exista ese número, y sería maravilloso si algún número se negara a cumplir con el Teorema Fundamental de la Aritmética, pero sorprendentemente eso no puede suceder.

Como profesor de cálculo de la escuela secundaria de casi 30 años que ha perfeccionado el arte de simplificar las matemáticas para un amplio espectro de estudiantes, permítanme ofrecer una respuesta que puede ser apreciada por un público más amplio.

Estaba discutiendo las gráficas de [math] y = sqrt (x) [/ math] y [math] y = lnx [/ math] en una clase de cálculo una vez, gráficas que aumentan a una tasa decreciente, eventualmente aumentando de manera gradual e imperceptible que parecen estar perfectamente horizontales. Si no está familiarizado, puede graficar cada uno en Desmos.com/calculator.

Mis alumnos se preguntaban cuánto tardaría cada gráfico en llegar al techo del aula. Colocamos el origen en la esquina inferior izquierda de la pizarra, marcamos los ejes x e y a intervalos de una pulgada, y realizamos un cálculo simple para que cada gráfico alcance el techo de 10 pies. La gráfica de [math] y = sqrt (x) [/ math] viajó a la derecha unos 1,200 pies antes de llegar finalmente al techo. Eso se esperaba. Pero la gráfica de [matemáticas] y = lnx [/ matemáticas] se eleva tan lentamente que viajaría a los billones de veces correctos más lejos que el borde del universo conocido y aún no alcanzaría una altura de 10 pies. ¡Eso nos sorprendió a todos!

Como viajaba a California la semana siguiente para visitar a mis padres, y mi padre era un matemático de fama mundial, sabía que apreciaría este hecho. Así que preparé un documento informal sobre el surgimiento de varias funciones (exponencial versus radical versus logarítmico) y no podía esperar para mostrarle. Mi avión acababa de aterrizar cuando mi madre llamó y me informó que mi padre había fallecido inesperadamente mientras yo estaba en el vuelo. Nunca pude mostrárselo.

La constante de Khinchin para mí es simplemente asombrosa.

Tome la expansión de fracción continua de un número a = [matemáticas] a_0 + \ frac {1} {a_1 + \ frac {1} {a_2 + \ dots}} [/ matemáticas]. Podemos escribir esto en una forma más compacta como [matemáticas] \ left \ {a_0; a_1, a_2, \ dots \ right \} [/ math]. El primer término [matemáticas] a_0 [/ matemáticas] es la parte integral de a ; lo ignoraremos Ahora forme la media geométrica de los otros términos de 1 a n a medida que n va al infinito: [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ prod_ {i = 1} ^ n {} a_i \ right) ^ {\ frac {1} {n}} [/ math]. Es un hecho absolutamente notable que para casi todos los números , este límite tiene el mismo valor, aproximadamente 2.6854520010653064453 …

Por “casi todos” lo que técnicamente queremos decir es que todos los números reales, aparte de un conjunto de medida cero de Lebesgue, tienen esta propiedad. Pero hay un hecho aún más notable: aparte de unos pocos números especialmente preparados para demostrar esto, no podemos demostrar que sea cierto para cualquier número en general. No es cierto para los números racionales, porque su expansión de fracción parcial termina. No es cierto para ciertas clases de números algebraicos. No es cierto para e . ¿Es cierto para π? Tal vez. Probablemente, incluso. Pero no lo sabemos .

La paradoja de Banach-Tarski.

Dada una bola sólida en el espacio 3D, existe una manera de descomponer la bola en un número finito de subconjuntos disjuntos, que luego se pueden volver a unir (con solo movimientos de rotación y traslación) para formar dos copias idénticas de la bola original.

Mientras leía sobre esto, una vez fui golpeado por un caso grave de la mierda santa.

Pero probar esta paradoja requiere el concepto del conjunto no medible, y también una comprensión del hecho de que el concepto de volumen de la pelota no puede definirse en el sentido tradicional a los subconjuntos en los que lo descomponemos, sin hacer algunas disputas matemáticas.

Sin embargo, sigue siendo sorprendente.

Existen numerosas fórmulas y sumas que describen el valor de [math] \ pi [/ math]. La mayoría de ellos son raros, pero este claramente alcanza los límites de la rareza.

Lo anterior se acredita a Ramanujan. El puro absurdo de la ecuación de la derecha me hace reflexionar sobre cómo podría alguien pensar en esto. Definitivamente está en mi lista de datos matemáticos más extraños.

Como beneficio adicional, aquí hay otra expansión igualmente interesante y mucho más extraña de [math] \ pi [/ math]. Esto fue descubierto más tarde por los hermanos Chudnovsky.

Referencias

• Fórmulas para Pi – WolfRam
• La fórmula de Ramanujan para Pi

Teorema de Kuratowski de catorce conjuntos: en cualquier espacio topológico, tome un conjunto y aplique repetidamente las operaciones de cierre y complementación. La colección resultante tendrá como máximo catorce conjuntos, y hay un subconjunto de un espacio topológico (los reales, en realidad) que tiene la propiedad de alcanzar exactamente catorce conjuntos de esta manera.

Quiero decir, catorce? ¿Qué tipo de número es ese?

Creo que lo que me atrapó fue realmente comprender lo que significaba que los racionales tuvieran la medida cero. No es solo que son la unión contable de intervalos de longitud cero; es que puede cubrir cada punto racional con un intervalo de ancho positivo y hacer que el ancho total sea tan pequeño como desee.

Aquí está la construcción. Como los racionales son contables, puede ordenarlos como [math] q_1, q_2, q_3, \ dots [/ math]. Arregle [math] \ epsilon> 0 [/ math] y defina el conjunto [math] I_n (\ epsilon) = \ left (q_n – \ epsilon / 2 ^ {n + 1}, q_n + \ epsilon / 2 ^ { n + 1} \ right) [/ math]. Luego defina [math] I (\ epsilon) = \ cup_ {n = 1} ^ \ infty I_n (\ epsilon) [/ math]. Está claro que [math] \ mathbb {Q} \ subseteq I [/ math], y la medida de [math] I (\ epsilon) [/ math] está limitada anteriormente por [math] \ epsilon [/ math] por el análogo teórico-medida de la desigualdad de Boole.

Lo que realmente no puedo entender es la noción de que tenemos intervalos de medida positiva alrededor de cada número racional, los racionales son densos y, sin embargo, aún no hemos podido cubrir cada número real. Entiendo que estos intervalos tienen una superposición significativa, pero no estoy claro en los detalles.

Me sorprendió que 0! = 1;

Desde que nos presentaron por primera vez a n! = 1 * 2 * 3 *… .n;

Entonces, ¡todos los factoriales tenían sentido hasta que nos presentaron a 0 !; Según nuestra lógica estudiantil, debería haber sido 0; pero no, es 1.

Nosotros, entre nuestros alumnos de clase, más tarde lo razonamos así: ¡n! representa el número total de permutaciones de n objetos distintos;

Por lo tanto 0! representa el número total de arreglos de 0 objetos tomados a la vez;

Ahora suponemos que no hay otra manera de imaginar 0 objetos, excepto imaginar que no hay objetos; Entonces, técnicamente, ¡solo hay una forma en la que podemos tener 0 objetos!

Fermat primos!

Esta historia es así, Fermat dijo que por cada número natural [matemáticas] n [/ matemáticas], el número [matemáticas] F_n = 2 ^ {2 ^ n} +1 [/ matemáticas] es un número primo. Pero Fermat estaba equivocado porque [matemáticas] F_5 [/ matemáticas] no es primo. Los números [matemática] F_n = 2 ^ {2 ^ n} +1 [/ matemática] se denominan números de Fermat y si [matemática] F_n [/ matemática] es primo, se denomina primo de Fermat.

Entonces uno pensaría que Fermat estaba equivocado y su fórmula no tiene ningún propósito. ¡Incorrecto! Es un hecho matemático que un polígono regular de [math] \ ell [/ math] lados se puede construir con una brújula y una regla si, y solo si, [math] \ ell = 2 ^ m \ cdot F_ {j_1} \ cdot F_ {j_2} \ cdots F_ {j_n} [/ math], donde [math] F_ {j_1}, \ cdots, F_ {j_n} [/ math] son ​​primos de Fermat distintos. Entonces, Fermat estaba equivocado, pero incluso su trabajo era importante. Para mí es como patear la pelota hacia un lado del campo y de alguna manera hacer un gol.

Mi favorito, que realmente me sorprendió más fue la paradoja de Banach-Tarski (paradoja de Banach-Tarski – Wikipedia)

Establece que una bola sólida se puede dividir en un número finito de piezas. Las piezas se pueden reorganizar para hacer dos bolas, cada una con el mismo tamaño que la bola original. Las nuevas bolas son sólidas y no contienen “agujeros”. Aunque se llama una paradoja, es un teorema probado. El secreto radica en el hecho de que las piezas son conjuntos de puntos para los que no se puede definir un volumen con sensatez.

¡Oh, hay muchos! Aquí hay uno que realmente me dejó sin palabras: la fórmula de Stirling.

¡norte! se construye simplemente multiplicando todos los enteros hasta n.

Pero para n grande,

[matemáticas] n! \ approx \ sqrt {2 \ pi n} \, n ^ ne ^ {- n} [/ math]

¿Cómo puede multiplicar números enteros juntos algo que ver con [math] \ pi [/ math] y [math] e [/ math] ???

Ulam Sprial .

Aunque esto no es un teorema / conjetura, este sorprendente patrón de números primos me sorprendió más. Antes de saberlo (hace 2/3 años), solía creer que pocas cosas pueden no tener patrones. Pero esto realmente cambió de opinión y ahora creo con toda certeza lo que Baruch Spinoza dijo una vez sobre la estocasticidad: “No hay nada al azar en la naturaleza, vemos cosas al azar debido a la falta de conocimiento”.

Aquí hay una pequeña: el teorema de Bayes y la probabilidad condicional. Puede realizar una prueba con una precisión del 90% … y aún así obtener resultados poco confiables. (La parte en el video donde revisé mi trabajo tres veces antes de creer mi respuesta, y luego tuve que ejecutar una simulación es cierta … lo que no digo es que hice esto en Math GREs …)

La prueba de Godel, que muestra que cualquier sistema que satisfaga ciertas propiedades bastante básicas tendrá hechos al respecto que no se pueden probar dentro de ese sistema. Esto tiene implicaciones filosóficas y matemáticas asombrosas, ya que muestra (entre otras cosas) que hay hechos que nunca podemos probar sobre nosotros mismos.

El teorema de Taylor. Me costó mucho creer que se podía aproximar con precisión arbitraria una función trascendental con un polinomio, e incluso más difícil creer que ese polinomio tuviera una expresión tan simple. Todavía no entiendo completamente el teorema, pero lo encuentro un poco más plausible desde que comencé mi licenciatura en matemáticas (escuché por primera vez sobre el teorema en la escuela secundaria).

Cosas como la paradoja de Banach-Tarski y el problema de Monty Hall son excelentes. Sin embargo, cuando era joven siempre me desconcertó la idea de que no podíamos simplemente usar el infinito como número. Por qué no? ¿Cómo podría haber algo incontable? Una vez que finalmente me convencí de que el infinito no era un número real, me confundí con la idea de que había infinitos de diferentes tamaños.

Una de las mayores sorpresas para mí fue la idea de que el tamaño del conjunto de todos los enteros es del mismo tamaño que el conjunto de todos los números racionales, lo cual se prueba de manera relativamente simple al dibujar una biyección entre el conjunto de enteros y el conjunto de números racionales. números.

Dado un mazo de 52 cartas y después de barajarlo bien. Las tarjetas se organizarán en un orden particular. Entonces, el hecho es que la combinación específica de 52 cartas podría ser tan única que hasta ahora en todo el universo nadie la hubiera visto o mantenido en ese orden (combinatoria).

¡Todas las formas posibles son 52! (factorial) que es un número realmente muy grande. Puedes encontrarlo usando un pequeño programador de computadora y eso me mantuvo asombrado hasta la fecha.