¿Cuál es la diferencia entre area y volume?

tl; dr Área y volumen son solo formas de asignar “tamaños” a formas en diferentes dimensiones.

Longitud, área, volumen, todos son ejemplos de cómo asignar un valor no negativo que abarca la noción intuitiva de tamaño a conjuntos en una, dos y tres dimensiones, respectivamente. Deje que [math] \ mu [/ math] denote la función que calcula el tamaño.

Un intervalo en [math] \ mathbb {R}, [/ math] la línea real, tiene la forma [math] I_1 = (a, b), b> a. [/ math] La longitud, es simplemente la diferencia [math] \ mu (I_1) = ba. [/ math] El “tamaño” asignado a un objeto unidimensional como este intervalo es la longitud.

Un rectángulo, denotado por [math] I_2 = (a, b) \ times (c, d), b> a, d> c [/ math] tiene un área dada simplemente por el producto de las diferencias [math] \ mu ( I_2) = (ba) (dc). [/ math] El “tamaño” asignado a un objeto bidimensional como este rectángulo es el área.

Una caja (o prisma rectangular), denotada por [matemáticas] I_3 = (a, b) \ veces (c, d) \ veces (e, f), b> a, d> c, f> e [/ matemáticas] en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] tiene el volumen [math] \ mu (I_3) = (ba) (dc) (fe). [/matemáticas]

La diferencia es simplemente en dimensión. Describí una forma de asignar tamaños a intervalos, rectángulos y cuadros. Con el cálculo, esto es suficiente para todos los propósitos prácticos porque otras formas son límites de combinaciones de estos tres conjuntos simples, llamados conjuntos Borel.

Este programa se puede extender a todo tipo de formas locas. En el cálculo de una sola variable, la búsqueda de áreas de formas descritas por funciones de valor real utiliza lo que se llama la integral definida. En el cálculo multivariable, encontrar volúmenes debajo de las funciones de la forma [math] f (x, y) [/ math] se utiliza una integral múltiple. Además, esto se extiende a dimensiones superiores. De hecho, no hay nada matemáticamente especial en una, dos o tres dimensiones cuando se trata de calcular tamaños, excepto que podemos visualizarlo.

Hay formas muy locas que requieren los conceptos encontrados en la teoría de la Medida para calcular sus tamaños. Por ejemplo, solo imagina una dimensión. ¿Cuál es el “tamaño” de todos los números racionales? Quizás sorprendentemente, la “longitud” del conjunto de todos los números racionales en la línea real es cero. Es decir, si el conjunto de racionales se denota por [math] \ mathbb {Q} [/ math] entonces [math] \ mu (\ mathbb {Q}) = 0. [/ math]

Área: Un concepto 2D (bidimensional).
Volumen: Un concepto 3D (tridimensional).