¿Se puede resolver [matemáticas] (-1) ^ {- i} \ aprox 23.14 [/ matemáticas] sin utilizar la identidad de Euler?

Hay una definición puramente algebraica de la función exponencial como una serie de potencia sobre los números complejos:

[matemáticas] \ exp (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {z ^ n} {n!} [/ matemáticas]

El logaritmo es el inverso (multivalor) de esta función. Entonces podemos definir

[matemáticas] a ^ b = \ exp (b \ log a) [/ matemáticas]

Si bien es cierto que la identidad de Euler está esperando ser presentada a continuación, no tenemos que usar ese hecho para avanzar.

¿Cómo encontramos algo de [matemática] z [/ matemática] tal que [matemática] \ exp (z) = -1 [/ matemática] sin recurrir a la trigonometría?

Bueno, después de mostrar que [math] \ exp (w) \ exp (z) = \ exp (w + z) [/ math], podemos demostrar que [math] | \ exp (z) | = \ exp (\ mathrm {Re} z) [/ math], nuevamente de manera puramente algebraica usando conjugación compleja y [math] z + \ bar {z} = 2 \ mathrm {Re} z [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle | \ exp (z) | = | \ exp \ frac {1} {2} z | ^ 2 = (\ exp \ frac {z} {2}) \ overline {(\ exp \ frac {z} {2})} = (\ exp \ frac {z} {2}) (\ exp \ frac {\ bar {z}} {2}) = \ exp \ left (\ frac {1} {2} (z + \ bar {z}) \ right) = \ exp (\ mathrm {Re} z) [/ math]

Entonces, cualquiera que sea la [matemática] z = \ log -1 [/ matemática] deseada, [matemática] 1 = | -1 | = | \ exp z | = \ exp \ operatorname {Re} z [/ math]. Bueno, sabemos un valor para [math] \ exp x = 1 [/ math] que es [math] x = 0 [/ math], por lo que podríamos elegirlo como la parte real. Entonces podemos resolver la parte imaginaria como:

[matemáticas] \ exp iy = -1 = 1 + iy + \ frac {(iy) ^ 2} {2!} + \ frac {(iy) ^ 3} {3!} + \ frac {(iy) ^ 4 } {4!} +… [/ Matemáticas]

[matemáticas] -2 = iy + \ frac {-1} {2!} y ^ 2 + \ frac {-1} {3!} iy ^ 3 + \ frac {1} {4!} y ^ 4 +… [/matemáticas]

Igualando partes reales e imaginarias que tenemos

[matemáticas] -2 = \ frac {-1} {2!} y ^ 2 + \ frac {1} {4!} y ^ 4 + \ frac {-1} {6!} y ^ 6 +… [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = y + \ frac {-1} {3!} y ^ 3 + \ frac {1} {5!} y ^ 5 + \ frac {-1} {7!} y ^ 7 +… [ /matemáticas]

Para acortar las cosas, solo resolveremos el último numéricamente: termínelo en algún momento y resuelva las raíces polinómicas resultantes. (¡Con un poco más de trabajo una vez puede mostrar que todas las soluciones son múltiplos enteros de algún número!) 3.1416 es una de las soluciones, una constante muy familiar … por supuesto, también están presentes -3.1416 y [math] 2 \ pi [/ math] y así sucesivamente.

Ahora que hemos llegado hasta [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] sin invocar la trigonometría, estamos en la recta final:

[math] (- 1) ^ {- i} = \ exp -i \ cdot 3.1416 \ cdot i = \ exp 3.1416 [/ math] que obviamente es real y también puede calcularse numéricamente.

Realmente no. El problema es que necesita definir qué quiere decir con [matemáticas] (-1) ^ i [/ matemáticas]. Por supuesto, podría definirlo como el valor deseado, pero eso sería perder el punto: desea extender la exponenciación para números complejos. La forma de hacerlo es extender la función exponencial [matemática] e ^ z [/ matemática] para números complejos [matemática] z [/ matemática].

Cualquiera sea la forma en que decida hacerlo, la identidad de Euler es una consecuencia inmediata. De hecho, puede definir la función exponencial utilizando la identidad de Euler.

Entonces, en resumen, puedes encontrar una prueba que no parece usar la identidad de Euler, pero ciertamente está allí en algún lugar debajo de la superficie.