Hay una definición puramente algebraica de la función exponencial como una serie de potencia sobre los números complejos:
[matemáticas] \ exp (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {z ^ n} {n!} [/ matemáticas]
El logaritmo es el inverso (multivalor) de esta función. Entonces podemos definir
- ¿Cuáles son las fórmulas matemáticas para la trayectoria y velocidad de una pelota de golf?
- ¿Qué área de matemáticas elegiste: aplicada o pura? ¿Por qué?
- ¿Qué es infimum y supremum?
- ¿De cuántas maneras se pueden colocar 21 libros en inglés y 19 libros en hindi en una fila en un estante para que dos libros en hindi no estén juntos?
- ¿Cuál es el significado de la transformación de dispersión inversa?
[matemáticas] a ^ b = \ exp (b \ log a) [/ matemáticas]
Si bien es cierto que la identidad de Euler está esperando ser presentada a continuación, no tenemos que usar ese hecho para avanzar.
¿Cómo encontramos algo de [matemática] z [/ matemática] tal que [matemática] \ exp (z) = -1 [/ matemática] sin recurrir a la trigonometría?
Bueno, después de mostrar que [math] \ exp (w) \ exp (z) = \ exp (w + z) [/ math], podemos demostrar que [math] | \ exp (z) | = \ exp (\ mathrm {Re} z) [/ math], nuevamente de manera puramente algebraica usando conjugación compleja y [math] z + \ bar {z} = 2 \ mathrm {Re} z [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle | \ exp (z) | = | \ exp \ frac {1} {2} z | ^ 2 = (\ exp \ frac {z} {2}) \ overline {(\ exp \ frac {z} {2})} = (\ exp \ frac {z} {2}) (\ exp \ frac {\ bar {z}} {2}) = \ exp \ left (\ frac {1} {2} (z + \ bar {z}) \ right) = \ exp (\ mathrm {Re} z) [/ math]
Entonces, cualquiera que sea la [matemática] z = \ log -1 [/ matemática] deseada, [matemática] 1 = | -1 | = | \ exp z | = \ exp \ operatorname {Re} z [/ math]. Bueno, sabemos un valor para [math] \ exp x = 1 [/ math] que es [math] x = 0 [/ math], por lo que podríamos elegirlo como la parte real. Entonces podemos resolver la parte imaginaria como:
[matemáticas] \ exp iy = -1 = 1 + iy + \ frac {(iy) ^ 2} {2!} + \ frac {(iy) ^ 3} {3!} + \ frac {(iy) ^ 4 } {4!} +… [/ Matemáticas]
[matemáticas] -2 = iy + \ frac {-1} {2!} y ^ 2 + \ frac {-1} {3!} iy ^ 3 + \ frac {1} {4!} y ^ 4 +… [/matemáticas]
Igualando partes reales e imaginarias que tenemos
[matemáticas] -2 = \ frac {-1} {2!} y ^ 2 + \ frac {1} {4!} y ^ 4 + \ frac {-1} {6!} y ^ 6 +… [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = y + \ frac {-1} {3!} y ^ 3 + \ frac {1} {5!} y ^ 5 + \ frac {-1} {7!} y ^ 7 +… [ /matemáticas]
Para acortar las cosas, solo resolveremos el último numéricamente: termínelo en algún momento y resuelva las raíces polinómicas resultantes. (¡Con un poco más de trabajo una vez puede mostrar que todas las soluciones son múltiplos enteros de algún número!) 3.1416 es una de las soluciones, una constante muy familiar … por supuesto, también están presentes -3.1416 y [math] 2 \ pi [/ math] y así sucesivamente.
Ahora que hemos llegado hasta [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] sin invocar la trigonometría, estamos en la recta final:
[math] (- 1) ^ {- i} = \ exp -i \ cdot 3.1416 \ cdot i = \ exp 3.1416 [/ math] que obviamente es real y también puede calcularse numéricamente.