La identidad anterior se aplica solo para AP constantes (donde d = 0), y no para otros AP, como ha demostrado Anupriyo Das. A continuación se muestra una prueba:
a, b, c están en AP.
[matemáticas] c – b = b – a. [/ matemáticas]
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Necesitamos demostrar:
[math] \ frac {a} {bc}, \ frac {b} {ac}, \ frac {c} {ab} [/ math] están en AP.
Asumamos que esto es cierto.
Luego:
[matemáticas] \ frac {b} {ac} – \ frac {a} {bc} = \ frac {c} {ab} – \ frac {b} {ac} [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {b ^ 2 – a ^ 2} {abc} = \ frac {c ^ 2 – b ^ 2} {abc} [/ math]
[matemática] \ Rightarrow b ^ 2 – a ^ 2 = c ^ 2 – b ^ 2 [/ matemática]
[matemática] \ Rightarrow (b + a) (b – a) = (c + b) (c – b) [/ math]
[math] \ Rightarrow b + a = c + b [/ math] [Como [math] b – a = c – b [/ math]]
[math] \ Rightarrow a = c [/ math]
Como b es la media aritmética de a y c:
[matemáticas] b = \ frac {a + c} {2} [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow b = \ frac {2a} {2} [/ math]
[math] \ Rightarrow b = a = c [/ math]
Entonces, la identidad anterior es verdadera solo para APs cuyos términos son constantes.
