(Sí, este es claramente un problema de tarea. No me importa).
Si G no está conectado, podemos dividirlo en dos gráficos disjuntos, con [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] muchos vértices respectivamente, de modo que [matemática] x + y = 10 [/ matemática ] y [matemáticas] x, y \ geq 1 [/ matemáticas]. [Math] xy [/ math] no pueden ocurrir muchos bordes potenciales entre los dos gráficos disjuntos, pero a cualquier otro par de vértices se les puede dar un borde, lo que lleva a un máximo de [math] \ binom {10} {2} – xy = 45 – xy [/ math] muchas aristas posibles. Por lo tanto, solo necesitamos minimizar [math] xy [/ math], sujeto a nuestras restricciones. El álgebra básica * revela que [matemática] xy [/ matemática] es al menos 9, lograda cuando una de las subgrafías disjuntas tiene 1 vértice y la otra tiene 9. Por lo tanto, G tiene como máximo 36 aristas, logradas cuando G consiste en la disyunción unión de los gráficos completos en vértices 1 y 9.
[*: Específicamente, [matemáticas] xy = ((x + y) ^ 2 – (x – y) ^ 2) / 4 [/ matemáticas]. Dado que [matemática] x + y = 10 [/ matemática], esto se reduce a [matemática] 25 – (x – y) ^ 2/4 [/ matemática], que se minimiza cuando [matemática] | x – y | [ / math] está maximizado. Y [matemática] | x – y | [/ matemática] es como máximo [matemática] 9 – 1 = 8 [/ matemática] (dado que [matemática] x, y \ geq 1 [/ matemática]), produciendo [matemática] 25 – 8 ^ 2/4 = 9 [/ matemáticas].]
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Lo anterior es el cálculo directo de la pista. Pero aquí hay una forma más rápida y limpia de verlo:
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Suponga que G está desconectado, sin ruta de A a B. Tome todos los bordes en A y en su lugar rediríjalos a B; Esto crea un nuevo gráfico con el mismo número de vértices y aristas que G, pero en el que A es un punto completamente aislado. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos restringir la atención a los gráficos con un punto aislado. Específicamente, colocando tantos bordes como sea posible en el resto del gráfico, terminamos con el gráfico completo en vértices (10 – 1), más un solo punto aislado. Y esto tiene, por supuesto, [matemáticas] \ binom {10 – 1} {2} = 36 [/ matemáticas] bordes.
