Si [matemáticas] \ vec {A} + \ vec {B} = (7 \ hat {j} +7 \ hat {k}) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ vec {A} – \ vec {B} = (- \ hat {j} + \ hat {k}) [/ math] entonces, ¿cuál es la magnitud de [math] \ vec {A} [/ math] y [math] \ vec {B} [/ math] ?

[matemáticas] \ vec {A} + \ vec {B} = 7 \ tilde {j} +7 \ tilde {k} [/ matemáticas] – 1

[matemáticas] \ vec {A} – \ vec {B} = – \ tilde {j} + \ tilde {k} [/ matemáticas] – 2

1 + 2

[matemáticas] 2 \ vec {A} = 6 \ tilde {j} +8 \ tilde {k} [/ matemáticas]

[matemática] \ rightarrow \ vec {A} = 3 \ tilde {j} +4 \ tilde {k} [/ math] – 3

3 en 1

[matemáticas] (3 \ tilde {j} +4 \ tilde {k}) + \ vec {B} = 7 \ tilde {j} +7 \ tilde {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec {B} = 4 \ tilde {j} +3 \ tilde {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ vec {A} = [/ matemáticas] [matemáticas] 3 \ tilde {j} +4 \ tilde {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec {B} = 4 \ tilde {j} +3 \ tilde {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec {A} + \ vec {B} = (7 \ hat {j} +7 \ hat {k}) [/ math]

[matemáticas] \ vec {A} – \ vec {B} = (- \ hat {j} + \ hat {k}) [/ matemáticas]

Agregar las dos ecuaciones juntas nos da:

[matemáticas] (\ vec {A} + \ vec {B}) + (\ vec {A} – \ vec {B}) = (7 \ hat {j} +7 \ hat {k}) + (- \ sombrero {j} + \ sombrero {k}) [/ matemáticas]

Podemos simplificar esta ecuación uniendo términos similares:

[matemáticas] 2 \ vec {A} = (6 \ sombrero {j} +8 \ sombrero {k}) [/ matemáticas]

Reducir a la mitad ambos lados nos da:

[matemáticas] \ vec {A} = (3 \ hat {j} +4 \ hat {k}) [/ math]

Luego podemos sustituir esto en una de las ecuaciones iniciales para encontrar [math] \ vec {B} [/ math]:

[matemáticas] (3 \ hat {j} +4 \ hat {k}) – \ vec {B} = (- \ hat {j} + \ hat {k}) [/ math]

Ahora podemos reorganizar esto para obtener [math] \ vec {B} [/ math]:

[matemáticas] \ vec {B} = (3 \ hat {j} +4 \ hat {k}) – (- \ hat {j} + \ hat {k}) [/ math]

[matemáticas] \ vec {B} = (4 \ hat {j} +3 \ hat {k}) [/ math]

Ahora tenemos los vectores que necesitamos para encontrar nuestras respuestas:

[matemáticas] \ vec {A} = (3 \ hat {j} +4 \ hat {k}) [/ math]

[matemáticas] \ vec {B} = (4 \ hat {j} +3 \ hat {k}) [/ math]

La magnitud del vector [matemáticas] (\ mid a \ mid \ hat {j} + \ mid b \ mid \ hat {k}) [/ math] es simplemente la longitud de la hipotenusa formada por el triángulo rectángulo con los otros lados de longitud y [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].

Por lo tanto, podemos calcular la magnitud de cada vector utilizando el Teorema de Pitágoras:

[matemáticas] a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} [/ matemáticas]

Sustituir los valores de nuestros vectores nos da:

[matemáticas] \ vec {A} = (3 \ hat {j} +4 \ hat {k}) [/ math]

[matemáticas] \ mid \ vec {A} \ mid = \ sqrt {3 ^ {2} + 4 ^ {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid \ vec {A} \ mid = \ sqrt {9 + 16} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid \ vec {A} \ mid = \ sqrt {25} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid \ vec {A} \ mid = 5 [/ matemáticas]

Y:

[matemáticas] \ vec {B} = (4 \ hat {j} +3 \ hat {k}) [/ math]

[matemáticas] \ mid \ vec {B} \ mid = \ sqrt {4 ^ {2} + 3 ^ {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid \ vec {B} \ mid = \ sqrt {16 + 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid \ vec {B} \ mid = \ sqrt {25} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid \ vec {B} \ mid = 5 [/ matemáticas]

Ahora tenemos que las magnitudes de los vectores [matemáticas] \ vec {A} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ vec {B} [/ matemáticas] son ​​ambas [matemáticas] 5 [/ matemáticas] ([matemáticas] \ mid \ vec {A} \ mid = 5 [/ math] y [math] \ mid \ vec {B} \ mid = 5 [/ math])

A + B = 7j + 7k – (1)

AB = -j + k – (2)

Sumando las ecuaciones 1 y 2

2A = 6j + 8k

A = 3j + 4k

| A | = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = 5

Poniendo A = 3j + 4k en la ecuación 1

B = 7j -3j + 7k-4k

B = 4j + 3k

| B | = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = 5

Sumar → 2A = (6,8) → A = (3,4) → | A | = 5

Resta → 2B = (8, -6) → B = (4,3) → | B | = 5