Tenga en cuenta que [math] 911 \ equiv 14 \ pmod {69}. [/ Math] Por lo tanto, [math] 911 ^ {420} \ equiv 14 ^ {420} \ pmod {69} [/ math].
La función totient de Euler nos dice que [math] \ phi (69) = \ phi (3 * 23) = 2 * 22 = 44 [/ math]. Como [math] \ text {gcd} (14, 69) = 1 [/ math], entonces [math] 14 ^ {44} \ equiv 1 \ pmod {69} [/ math]
Por lo tanto, [matemáticas] 14 ^ {420} = 14 ^ {44 * 9 + 24} = \ left (14 ^ {44} \ right) ^ 9 * 14 ^ {24} \ equiv 14 ^ {24} \ pmod { 69}. [/ Matemáticas]
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Ahora podemos usar poderes de 2 para ayudarnos:
[matemáticas] 14 ^ 2 = 196 \ equiv -11 \ pmod {69} [/ matemáticas]
[matemáticas] 14 ^ 4 = (14 ^ 2) ^ 2 \ equiv 121 \ equiv -17 \ pmod {69} [/ matemáticas]
[matemáticas] 14 ^ 8 = (14 ^ 4) ^ 2 \ equiv 289 \ equiv 13 \ pmod {69} [/ matemáticas]
[matemáticas] 14 ^ {16} = (14 ^ 8) ^ 2 \ equiv 169 \ equiv 31 \ pmod {69} [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] 14 ^ {24} = 14 ^ {16} * 14 ^ 8 \ equiv 13 * 31 = 403 \ equiv \ en caja {58} \ pmod {69} [/ matemáticas]
