Supongamos que [math] X [/ math] es un espacio de Hausdorff localmente compacto (pero no compacto). (Quizás en varias situaciones, podamos relajar estas condiciones … pero esos detalles no son importantes).
Quizás haya oído hablar de la compactación de un punto de [math] X [/ math], a menudo denotada [math] X ^ * [/ math]. Es decir, usted define [matemáticas] X ^ * = X \ cup \ {\ infty \} [/ matemáticas], y define los subconjuntos abiertos de [matemáticas] X ^ * [/ matemáticas] como: (a) subconjuntos abiertos de [matemática] X [/ matemática], o (b) subconjuntos [matemática] U [/ matemática] de [matemática] X ^ * [/ matemática] que cumplen con [matemática] \ infty [/ matemática] tal que [matemática] X ^ * – U [/ math] está cerrado y compacto en [math] X [/ math].
En la medida en que agrega exactamente un punto a [matemáticas] X [/ matemáticas], la compactación de un punto es, en cierto sentido, la compactación “más pequeña”.
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La compactación Stone-Cech es la “más grande”. ¿Y eso que significa? Significa que cualquier otra compactación es solo una imagen de la compactación Stone-Cech. (De hecho, la imagen es única.) Dicho de otra manera, si [math] \ beta X [/ math] denota la compactación Stone-Cech de [math] X [/ math], y if [math] f \ ;: X \ to K [/ math] es un mapa continuo de [math] X [/ math] a un espacio compacto [math] K [/ math], entonces hay un homomorfismo único, llámelo [math] \ beta f [ / math], de [math] \ beta [/ math] [math] X [/ math] a [math] K [/ math], de modo que el diagrama
yo
X —-> βX
\ |
\ |
f \ | βf
\ |
K
conmuta, donde [matemática] i [/ matemática] es la inclusión de [matemática] X [/ matemática] a [matemática] \ beta X [/ matemática].
Si has visto muchas matemáticas, es posible que hayas visto algo como esto antes. Por ejemplo, en álgebra lineal, puede saber que si tiene un espacio vectorial [matemático] n [/ matemático] -dimensional [matemático] V [/ matemático] con un conjunto [matemático] B [/ matemático] de n vectores básicos, entonces cualquier mapa lineal [matemática] T [/ matemática] desde [matemática] V [/ matemática] a otra [matemática] n [/ matemática] -espacio dimensional [matemática] W [/ matemática] está completamente determinada por las imágenes de vectores de base. En otras palabras, si [matemática] p: B \ a W [/ matemática] es alguna función, entonces p determina completamente [matemática] T [/ matemática] y viceversa. Tienes un diagrama similar:
yo
B —-> V
\ |
\ |
p \ | T
\ |
W
En el lenguaje de la teoría de categorías, esto es lo que se conoce como una “propiedad universal”. Entonces, otra forma de describir la importancia de la compactación Stone Cech es decir que es un objeto universal en la categoría de compactaciones.
Puede haber otros significados, pero en mi opinión este es el principal.
