Realmente depende de cuál sea la definición de límite.
[math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = L [/ math] se define típicamente:
Para todos [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe [math] \ delta> 0 [/ math] tal que si [math] | xa | <\ delta [/ math] entonces [math] | f (x ) -L | <\ epsilon [/ math]
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Con esta definición tienes toda la razón. Considere [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ sqrt {x}. [/ Math] Tenemos [math] f (x) = \ sqrt {x} [/ math]. [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas].
Suponga que [math] \ epsilon = 2. [/ math] No hay [math] \ delta> 0 [/ math] que implique si [math] | x | <\ delta [/ math] luego [math] f (x) <2 [/ math] porque [math] x [/ math] puede ser negativo y luego [math] \ sqrt {x} [/ math] no existe, por lo que no puede ser menor que [math] \ epsilon = 2. [/ math] Entonces, bajo esta definición, el límite no existe.
Pero podría definir [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) = L [/ matemáticas] como:
Para todos [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe [math] \ delta> 0 [/ math] tal que para [math] x [/ math] en el dominio de [math] f [/ math] si [matemáticas] | xa | <\ delta [/ matemáticas] luego [matemáticas] | f (x) -L | <\ epsilon [/ math]
Entonces [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ sqrt {x} = 0
[/matemáticas]
Esta definición realmente no funciona. Los textos de análisis tendrán una discusión más complicada sobre los límites, y una definición más arcana, aún con deltas y épsilons. Pero generalmente aterrizan en [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ sqrt {x} = 0 [/ matemáticas]
Mi opinión personal es que las definiciones delta / épsilon son innecesariamente complicadas y lógicamente sospechosas, y realmente solo funcionan cuando tienes una ecuación viable para una función, no en el caso general. Como informático, me mareo cuando pienso en tener que iterar sobre los números reales.
