Aunque estoy totalmente de acuerdo con la respuesta de Senia Sheydvasser, tal vez pueda sacar un poco más de jugo del panorama matemático.
Para reiterar, las inconsistencias no son solo anatema, son aburridas. Por la razón que Senia dijo: en un sistema inconsistente, puedes probar cualquier cosa. Solo para dar un ejemplo de por qué eso es aburrido para un laico, imagine jugar un juego con un niño de 5 años que puede inventar las reglas a medida que avanza. Empiezas a jugar ajedrez, por ejemplo. Mueves la torre y lo controlas. El niño de 5 años, sintiendo la fatalidad inminente, simplemente declara: “Nueva regla. No puedes mover tu torre. ¡Yo gano!”
Ahora imagina que eres un jugador de ajedrez profesional, jugando contra tal oponente. No es una propuesta muy interesante.
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Este es el significado matemático de “inconsistencia”. Sin embargo, hay escenarios que los matemáticos no llamarían una inconsistencia, pero quizás los laicos podrían: esa es la noción de independencia lógica. Quizás los laicos también puedan encontrar interesantes estos escenarios.
Quizás el póster para esto es una declaración conocida como el Axioma de Elección. No entraré en lo que dice con precisión, pero más o menos dice que si tiene un conjunto de conjuntos no vacíos, siempre puede elegir un elemento de cada conjunto. A primera vista, no es controvertido. Pero tiene un papel crítico en algunos resultados contraintuitivos. Entonces, las personas estaban motivadas para explorar su estado lógico. (Por ejemplo, ¿quizás es inconsistente, en el sentido que usé anteriormente, con otros axiomas? Después de todo, podemos usarlo para probar algunos resultados realmente extraños).
Al final del día, la gente descubrió dos cosas que pueden parecer imposibles de ser ciertas al mismo tiempo. La primera es que el Axioma de Elección no introduce ninguna nueva consistencia en un popular conjunto de axiomas matemáticos “simples”. (Ese conjunto de “vainilla simple” se llama el conjunto de axiomas Zermelo-Frankel, o “ZF”). ¡La segunda es que la negación del Axioma de Elección tampoco introdujo ninguna inconsistencia!
En otras palabras, ¡ZF + AC y ZF + not (AC) son mundos igualmente válidos para hacer matemáticas!
Esto no se considera realmente controvertido en estos días. Pero habría sido bastante discordante para los matemáticos del siglo XIX. En aquel entonces, las nociones como verdad, comprobabilidad y coherencia lógica estaban confusas, excepto tal vez para los especialistas que investigaron esas preguntas específicamente. En aquel entonces, muchas personas probablemente se sorprenderían al escuchar declaraciones que son ciertas pero no comprobables. O peor aún, declaraciones que probablemente no sean demostrables.
Todo esto se desarrolló a principios o mediados del siglo XX. Un drama similar se desarrolló a principios y mediados de 1800, esta vez involucrando geometría no euclidiana.
La geometría euclidiana “normal” fue un importante logro intelectual de la antigüedad. Euclides estableció algunos axiomas de geometría, y esos axiomas fueron útiles durante miles de años (y aún lo son hoy). Pero uno de los postulados de Euclides parecía un poco … divertido.
El postulado dice que si tiene una línea y tiene un punto fuera de la línea dada, siempre puede dibujar una nueva línea que (a) sea paralela a la línea dada y (b) pase por el punto dado. Esto se conoció como el “Postulado Paralelo”, también conocido como el Quinto Postulado porque … bueno … ese es el orden en que apareció.
Por alguna razón, la gente a lo largo de los siglos tuvo la persistente sensación de que este postulado era de alguna manera redundante … que uno podía probarlo a partir de los cuatro postulados anteriores. Entonces, este postulado recibió mucha atención a lo largo de los años.
A estas alturas, probablemente pueda adivinar el trato: ese postulado es lógicamente independiente de los cuatro anteriores, al igual que el Axioma de Elección es independiente de los axiomas ZF. Y, dado que existe una “geometría no euclidiana”, probablemente pueda adivinar que varias negaciones del postulado paralelo son perfectamente viables.
Nuevamente, esto no es exactamente controvertido. Pero en ese momento , podría haber sido más un rascador de cabeza.
