¿Tal vez?
La dificultad en la pregunta es que la distinción entre análisis y lógica es algo arbitraria. Quizás un problema mayor es que muchas declaraciones aparentemente no relacionadas son equivalentes.
Tome el Axioma de elección, por ejemplo. Su enunciado clásico puede considerarse como un teorema de lógica o teoría de conjuntos. (Si no conoce el Axioma de elección, en términos generales dice que si tiene una familia de conjuntos S_i (con i en I, y yo soy un conjunto de indexación no necesariamente finito), y cada S_i no es vacío, entonces puede elegir un elemento s_i en cada S_i. El bit “elegir” es la razón por la que se llama Axioma de Elección.
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Si no lo ha visto antes, se ve totalmente indiscutible y evidente. Pero su aparente simplicidad oculta un papel matemático mucho más tumultuoso, especialmente históricamente. No voy a entrar en todo eso aquí, pero si no has visto algo de esa historia, puede que te guste.
Mi punto aquí es que el Axioma de Elección tiene tantos equivalentes. Es equivalente a la afirmación “cada espacio vectorial tiene una base”. Es equivalente a “el producto de los conjuntos compactos es compacto”.
Más allá de los equivalentes, también se sabe que el Axioma de elección es necesario para probar algunos teoremas. En el análisis, por ejemplo, el teorema de Hahn-Banach se basa críticamente en el Axioma de elección.
