¿La geometría algebraica es más difícil que el álgebra y la geometría?

Estoy esencialmente de acuerdo con la respuesta de Alon Amit a ¿La geometría algebraica es más difícil que el álgebra y la geometría ?, pero agregaré un poco de explicación sobre lo que está sucediendo.

Primero, cualquier área activa de investigación debería ser tan difícil como cualquier otra. Digamos que toma preguntas análogas en dos campos diferentes:

• Clasifique los grupos finitos abelianos de orden n , para todos los n .
• Clasifique los grupos finitos de orden n , para todos los n .

El primer problema es sencillo, y encontrará la respuesta en cualquier texto introductorio de álgebra. El segundo está más allá de cualquier esperanza de acercarse: acabamos de clasificar los grupos simples finitos, y a pesar del hecho de que cada grupo finito está formado por grupos simples, no hay una lista finita de formas de tomar una colección de grupos simples finitos y producir todos los diferentes grupos que comprenden.

En consecuencia, un teórico de grupo podría tratar de clasificar ciertas formas de agrupar grupos simples (trivial para el teórico de grupo abeliano), mientras que un teórico de grupo abeliano estudiaría preguntas sobre grupos no generados de forma finita cuyos análogos para grupos no abelianos serían completamente intratable En otras palabras, un grupo abeliano es simplemente un objeto mucho menos complejo que un grupo arbitrario del mismo tamaño.

¿Qué tiene esto que ver con la geometría algebraica? Bueno, los objetos estudiados en geometría algebraica se encuentran entre los objetos más intrincados investigados activamente. Una variedad, esquema o pila es mucho más complicado que una variedad, por lo que las preguntas análogas en geometría algebraica son mucho más difíciles. La conjetura jacobiana, por ejemplo, todavía está abierta.

Ahora, si cree en algo que se aproxime a la hipótesis de los mercados eficientes, el nivel de dificultad intelectual en todas las materias debería ser relativamente uniforme: si las preguntas análogas en un campo son más fáciles, los matemáticos en esa área deberían responder empujando la teoría más profundamente. En consecuencia, si la geometría algebraica comienza a volverse más difícil que el álgebra, entonces eso sería solo una señal de que el álgebra necesita comenzar a hacer preguntas más difíciles.

Segundo, ciertos campos requieren más antecedentes que otros para llegar a las fronteras. La geometría algebraica es notable en particular, ya que esencialmente tiene temas como teoría de categorías, álgebra conmutativa, geometría diferencial y topología algebraica como requisitos previos, cuando cualquiera de estos podría ser fácilmente un campo de estudio por derecho propio. Y la geometría algebraica aritmética se basa en todo esto y más.

En tercer lugar, la geometría algebraica vuelve a proyectar muchos de los temas anteriores en un nuevo lenguaje, lo que puede ser difícil de penetrar para un extraño. Recuerdo que uno de mis profesores en un curso de topología describió un problema que primero fue resuelto por Deligne como un corolario de un resultado mucho más general, y luego por “mortales” utilizando maquinaria más familiar de la topología algebraica.

En su sentido más amplio, “Algebra” y “Geometry” cubren casi toda la Geometría Algebraica, por lo que este último no puede ser más difícil que ambos. Sin embargo, si interpretamos que significan cualquier material de pregrado cubierto por estas meta-asignaturas, entonces sí, la Geometría Algebraica es mucho más profunda y a menudo se considera más difícil que los cursos de pregrado (y gran parte de postgrado) llamados “Algebra” o “Geometry”, o Ambos juntos.

La geometría algebraica aritmética en cualquier dimensión específica tiende a ser más difícil que la geometría algebraica pura en la misma dimensión (por ejemplo, la clasificación de curvas hasta la equivalencia biracional por su género es más fácil de probar que la determinación del comportamiento aritmético, incluso tan crudamente como determinar si el número de puntos racionales es finito o infinito).

Se aplican las exenciones de responsabilidad habituales: “más difícil” es subjetivo, “geometría”, “álgebra” y “geometría algebraica” son vagas y no están claramente delineadas.