¿Qué piezas musicales son interesantes o hermosas desde la perspectiva de la teoría de grupo?

Nuestra percepción de las frecuencias se compacta de modo que las frecuencias separadas por una octava (difieren en un factor de dos) se asignan a la misma “nota”; esto le da a los tonos la estructura del círculo [matemática] S ^ 1 [/ matemática]:
El grupo de simetría de transposiciones es el grupo [matemáticas] U (1) [/ matemáticas].

Ahora, aunque los instrumentos como los violines pueden tocar cualquier nota en el círculo, la música occidental tradicionalmente se puntúa con 12 notas espaciadas logarítmicamente en frecuencia (el espaciado se llama semitono o medio paso). Esto lleva al “círculo cromático”:
Ahora las transposiciones solo tienen el grupo de simetría [math] C_ {12} [/ math], el grupo cíclico en 12 elementos [1]. Arriba se representa con el generador siendo un semitono (dar un paso es un semitono).

Quizás el intervalo más importante en la música occidental es el “quinto” (la relación de frecuencia es cercana a 3/2 y, por alguna razón psicoacústica, esto es bastante agradable). Un quinto es igual a 7 semitonos. Como 7 y 12 son relativamente primos, también se pueden usar 7 semitonos como generador de [math] C_ {12} [/ math], lo que da como resultado el famoso “círculo de quintas”:

Tanto el círculo cromático como el círculo de quintas ocupan un lugar destacado en algunas composiciones. ¡Quizás el más famoso es el Clavier bien templado de Bach (http://en.wikipedia.org/wiki/The…), que presenta dos libros, cada uno de los cuales contiene una pieza en cada clave mayor y menor!

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Las composiciones más modernas relacionadas con la teoría de grupos provienen del sistema de
Arnold Schoenberg (http://en.wikipedia.org/wiki/Arn…), llamó a la técnica de los doce tonos (http://en.wikipedia.org/wiki/Twe…). En este sistema, el componente básico es una “fila de tonos”, que es una de las 12! = 479,001,600 formas de organizar las 12 notas para que cada una aparezca exactamente una vez. Estas filas de tonos forman clases de equivalencia cuando modifica las siguientes transformaciones:

• transposición (girando el círculo, un elemento de [matemáticas] C_ {12} [/ matemáticas])
• inversión en el tiempo
• inversión de tono (voltear el círculo en cualquier eje)

Esto forma una clase de equivalencia de 48 filas de tonos, para un total de (12!) / 48 = 9,979,200 clases de equivalencia.

[1] Cada grupo cíclico es un subgrupo finito de U (1).