¿Cuántas palabras de 20 letras se pueden formar usando 6 letras, si se permite la repetición de letras pero cada letra solo se puede repetir hasta 4 veces?
Bastantes: aproximadamente [matemáticas] 2.615 \ veces 10 ^ {14} [/ matemáticas].
Considerando los valores enteros de 0 a 4, las posibles soluciones a [matemáticas] a + b + c + d + e + f = 20 [/ matemáticas] se dividen en 5 categorías posibles:
- ¿Cuál es la tabla de verdad para: [matemáticas] P \ land (Q \ lor \ neg Q) [/ math]?
- ¿Qué significa el símbolo matemático | ->?
- ¿Qué es un plano trigonal?
- ¿Cuál es el factor común más alto?
- Cómo encontrar la permutación para P (12, 4) y la combinación para C (13, 5)
[matemáticas] \ begin {align *} && \ text {# distinct} \\ && \ text {reordenamientos} \\ 0 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 && \ binom {6} {1} = 6 \\ 1 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 && \ binom {6} {1} \ binom {5} {1} = 30 \\ 2 + 2 + 4 + 4 + 4 + 4 && \ binom {6} { 2} = 15 \\ 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 && \ binom {6} {1} \ binom {5} {2} = 60 \\ 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 && \ binom {6} {4} = 15 \\\ end {align *} \ tag * {} [/ math]
Para una solución dada, hay [matemáticas] \ dfrac {20!} {A! \, B! \, C! \, D! \, E! \, F!} [/ Matemáticas] palabras que se pueden formar: La fórmula habitual para el número de permutaciones que se pueden formar a partir de 20 cosas, de las cuales a son de un tipo, b son de otro tipo, etc.
Por lo tanto, el número total de soluciones es
[matemáticas] \ begin {align *} & \ dfrac {20!} {0! \, 4! \, 4! \, 4! \, 4! \, 4!} \ cdot \ binom {6} {1} \\ + \ & \ dfrac {20!} {1! \, 3! \, 4! \, 4! \, 4! \, 4!} \ cdot \ binom {6} {1} \ binom {5} {1} \\ + \ & \ dfrac {20!} {2! \, 2! \, 4! \, 4! \, 4! \, 4!} \ Cdot \ binom {6} {2} \\ + \ & \ dfrac {20!} {2! \, 3! \, 3! \, 4! \, 4! \, 4!} \ cdot \ binom {6} {1} \ binom {5} {2 } \\ + \ & \ dfrac {20!} {3! \, 3! \, 3! \, 3! \, 4! \, 4!} \ cdot \ binom {6} {4} \\ & = \ dfrac {20!} {(4!) ^ 6} \ big (4! \ cdot 6 + 4! 4 \ cdot 30 + 4 ^ 2 3 ^ 2 \ cdot 15 + 4 ^ 3 3 \ cdot 60 + 4 ^ 4 \ cdot 15 \ big) \\ & = 12,730,843,125 \ times 20,544 \\ & = \ boxed {261,542,441,160,000} \ end {align *} \\\ tag * {} [/ math]
(Gracias a Dave Clark por verificar mi trabajo y sugerir una edición clarificadora para el final del cálculo).
