Si escribimos la factorización [matemática] x! = 2 ^ {n_2} 3 ^ {n_3} \ cdots p_m ^ {n_m} [/ math], donde [math] p_m [/ math] denota el enésimo número primo, entonces no es demasiado difícil contar los exponentes . En particular, x! es divisible por un factor de 2 para cada número par entre 1 y x, más otro factor de 2 para cada múltiplo de 4 entre 1 y x, más otro para cada múltiplo de 8, y así sucesivamente, es decir
[matemáticas] n_2 = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ lfloor x / 2 ^ k \ rfloor [/ math].
Similar,
[matemáticas] n_p = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ lfloor x / p ^ k \ rfloor [/ math].
El número [math] p ^ {n_p} [/ math] es un cuadrado perfecto si [math] n_p [/ math] es par; Si es extraño, entonces necesitamos dividirlo por un factor de p para que sea un cuadrado perfecto.
Definir la función de paridad.
[matemáticas] P (n) = \ begin {cases}
0 & \ text {if} x \ text {es par,} \\\\
1 & \ text {de lo contrario}
\ end {cases} [/ math]
Entonces el menor entero positivo y para el cual x! / y es un cuadrado perfecto está dado por
[matemáticas] y = \ prod_ {n = 0} ^ \ infty (p_n) ^ {P (n_ {p_n})} [/ matemáticas]
En otras palabras, simplemente incluimos un factor de p cuando [math] n_p [/ math] es impar.
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