¿Es [math] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} [/ math] siempre que al menos uno de [math] a [/ math] y [math] b [/ math] no sea negativo ¿Número Real?

[math] \ sqrt x [/ math] está bien definido como una función para [math] \ mathbb R _ {\ ge0} [/ math] (reales no negativos) como dominio y codominio, como el inverso de la función cuadrada : [matemáticas] y = \ sqrt x, \ iff, y ^ 2 = x [/ matemáticas].

[math] \ sqrt z [/ math], para el complejo [math] z [/ math], no está bien definido como el inverso del cuadrado. Para [math] z \ ne0 [/ math], siempre hay dos valores complejos u como [math] u ^ 2 = z [/ math]. Si [math] u [/ math] es la solución, también lo es [math] -u [/ math].

Para resolver la ambigüedad, agitamos una “rama principal”. Por ejemplo, la rama principal de los números reales positivos es elegir la solución positiva.

Si escribimos [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math], para [math] r \ ge0 [/ math], podemos decir que [math] \ sqrt z = \ sqrt re ^ {i \ frac \ theta 2} [/ math]. Pero [matemáticas] e ^ {i (\ theta + 2 \ pi)} = e ^ {i \ theta} [/ matemáticas], sin embargo [matemáticas] e ^ {i \ frac {\ theta + 2 \ pi} 2} \ ne e ^ {i \ frac \ theta2} [/ math].

Para calcular raíces cuadradas complejas (o negativas), es conveniente elegir solo una [matemática] \ theta [/ matemática]. Por lo general, al elegir: [matemáticas] \ pi <\ theta \ le \ pi [/ matemáticas], o [matemáticas] 0 \ le \ theta <2 \ pi [/ matemáticas].

Entonces, digamos que tanto [math] a [/ math] como [math] b [/ math] son ​​complejos y no son reales no negativos. Con [math] a = r_ae ^ {i \ theta_a} [/ math] y [math] b = r_be ^ {i \ theta_b} [/ math].

En este caso [math] \ sqrt a = \ sqrt {r_a} e ^ {i \ frac {\ theta_a} 2} [/ math]. De forma similar, [math] \ sqrt b = \ sqrt {r_b} e ^ {i \ frac {\ theta_b} 2} [/ math]. Entonces, [math] \ sqrt a \ sqrt b = \ sqrt {r_ar_b} e ^ {i \ frac {\ theta_a + \ theta_b} 2} [/ math].

Ahora, [math] ab = r_ar_be ^ {i (\ theta_a + \ theta_b)} [/ math].

El problema es que [math] \ theta_a + \ theta_b [/ math] podría quedar fuera del rango principal.

Cuando [math] \ theta_a = 0 [/ math] o [math] \ theta_b = 0 [/ math], entonces podemos asegurarnos de que [math] \ theta_a + \ theta_b [/ math] todavía está en el rango adecuado.

En realidad, creo que siempre es cierto, para cualquier número complejo y b.