¿Por qué son importantes los subgrupos normales?

Mi respuesta es fundamentalmente la misma que la de Senia, pero tal vez sea lo suficientemente diferente como para justificar su escritura (a riesgo de alguna duplicación).

Olvídate de la teoría de grupos por un segundo. Considere las relaciones de equivalencia. Las relaciones de equivalencia son excelentes porque, entre otras razones, le permiten dividir un gran conjunto de objetos en un conjunto más pequeño de objetos mutuamente equivalentes, llamados “clases de equivalencia”. Quizás el primer ejemplo que aprendemos es aritmética modular: declaramos dos números enteros [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] módulo equivalente [matemática] n [/ matemática] cuando [matemática] xy [/ matemática] es divisible por [matemáticas] n [/ matemáticas]. Eso nos permite dividir los enteros (un conjunto infinito de objetos) en un conjunto de solo [matemáticas] n [/ matemáticas] conjuntos de objetos mutuamente equivalentes. Por ejemplo, una de esas clases de equivalencia es {[math] \ ldots, -2n, -n, 0, n, 2n, \ ldots [/ math]}.

En el caso de la aritmética modular, no solo podemos dividir los enteros de esta manera, sino que también podemos hacer aritmética con las clases de equivalencia, es decir, aritmética modular, de una manera que sea consistente con la aritmética “no modular” de los enteros. En otras palabras, si le doy enteros [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] y le pido que calcule la suma [matemática] x + y \ mod n [/ matemática], no lo hace ‘ No importa si reduce [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] módulo [matemática] n [/ matemática] primero, luego calcule la suma, o calcule la suma, luego reduzca el módulo [matemática] n [/matemáticas]. Obtendrá la misma respuesta cada vez.

Bien, volvamos a la teoría de grupos. Suponga que tiene un grupo [matemática] G [/ matemática] y un subgrupo no necesariamente normal [matemática] H [/ matemática]. Todavía puede definir la relación de equivalencia por analogía con la aritmética modular. Es decir, puede declarar [matemáticas] g [/ matemáticas] como equivalente a [matemáticas] h [/ matemáticas] “módulo [matemáticas] H [/ matemáticas]” si [matemáticas] gh ^ {- 1} \ en H [ / math], y supongamos perezosamente que es una relación de equivalencia de buena fe. (Es decir, es simétrico, transitivo y reflexivo. Si no estás acostumbrado a este tipo de cosas, verificar la propiedad simétrica puede ser complicado).

Ahora, como con cualquier relación de equivalencia, puede mirar las clases de equivalencia. Ese es el conjunto [matemática] G / H [/ matemática], que consiste en cosets de [matemática] H [/ matemática] en [matemática] G [/ matemática]. Es decir, el conjunto [matemáticas] G / H = \ {gH | g \ in G \} [/ math] está bien definido.

Pero si quiere ir más allá y hacer operaciones aritméticas con esas cosets, podría tener problemas si el subgrupo no es normal. Supongamos que no lo sabíamos, y tratemos de seguir adelante (aunque estamos condenados al fracaso). Supongamos que tomo mi bonita colección de cosets e intento definir la aritmética de forma natural. Para cosets [math] xH [/ math] y [math] yH [/ math], defina su producto como [math] xyH [/ math]. Hasta aquí todo bien.

Ahora supongamos que me encuentro en el grupo grande [matemáticas] G [/ matemáticas], y tengo dos elementos: [matemáticas] xh_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] yh_2 [/ matemáticas]. Si los reduzco módulo [math] H [/ math] y luego los multiplico, obtengo el coset [math] xyH [/ math], o dicho de otra manera obtengo el elemento [math] xy [/ math] en el “cociente grupo “[matemáticas] G / H [/ matemáticas]. Pero, ¿qué pasa si los multiplico primero y luego reduzco el módulo [matemáticas] H [/ matemáticas]?

Bueno, multiplicarlos da [matemáticas] xh_1yh_2. [/ Matemáticas] El módulo de reducción [matemáticas] H [/ matemáticas] ahora da [matemáticas] xh_1y [/ matemáticas]. Pero debido a que la multiplicación generalmente no es conmutativa, no se puede “matar” el término [matemática] h_1 [/ matemática] flotando en el medio al reducir el módulo [matemática] H [/ matemática]. Peor aún, si la multiplicación en el grupo del cociente va a estar bien definida, necesita esta expresión para igualar [matemáticas] xy [/ matemáticas] módulo [matemáticas] H [/ matemáticas].

Ingrese la propiedad mágica de los subgrupos normales.

Si supiéramos que [matemática] H [/ matemática] no es un subgrupo cualquiera, sino uno normal , podemos continuar: [matemática] xh_1yh_2 = xyh_3h_2 [/ matemática] para algunos [matemática] h_3 \ en H [/ matemática ] Esa es la definición de normalidad. Ahora, reducir el módulo [math] H [/ math] mata todos los términos [math] h [/ math] que cuelgan del extremo derecho de esta expresión, y la multiplicación queda bien definida.

Suponga que tiene un grupo, pero hay algún aspecto de su estructura que realmente no le importa, es decir, hay un subconjunto de este grupo que le gustaría considerar como la identidad.

Hay muchas razones diferentes por las cuales esto podría ser de interés. Una posibilidad es que esté pensando en los elementos de su grupo como transformaciones de algún espacio (es decir, tiene una acción grupal). Bueno, algunos de los elementos de su grupo podrían no hacerle nada al espacio; decimos que actúan como la identidad. Si desea estudiar la acción, en lugar del grupo, una cosa útil es tomar los elementos que actúan de manera trivial (es decir, no moverse alrededor de los elementos del espacio) y establecerlos formalmente como iguales a la identidad. Es decir, estamos interesados ​​en lo que se llama un grupo de cocientes.

Nos gustaría que esta operación de cociente nos proporcione un grupo al final. Entonces, en particular, si estamos configurando [math] g, h = id [/ math], entonces deberíamos obtener [math] gh = id [/ math] y [math] g ^ {- 1} = id [/ matemáticas]. Por lo tanto, estamos interesados ​​en analizar los subgrupos de nuestro grupo para cociente.

¿Son esos los únicos requisitos? No exactamente. Supongamos que configuro [math] h = id [/ math] y tomo cualquier otro elemento [math] g [/ math] en mi grupo. Deberíamos obtener que [math] ghg ^ {- 1} = gg ^ {- 1} = id [/ math]. Por lo tanto, queremos considerar los subgrupos [matemática] H [/ matemática] que satisfacen la propiedad de que si [matemática] h \ en H [/ matemática], entonces [matemática] ghg ^ {- 1} \ en H [/ matemática] para cualquier [matemática] g \ en G [/ matemática]. ¡Ah, pero eso es precisamente lo que es un subgrupo normal!

El siguiente paso natural es proporcionar una construcción de cómo, dado un subgrupo normal [matemático] H [/ matemático], realmente se puede construir un grupo de cociente razonable [matemático] G / H [/ matemático]. Sin embargo, esta es una construcción que aparece en cualquier libro de texto sobre teoría de grupo elemental, por lo que lo dejaré para que el lector lo descubra por sí mismo.