Sin más detalles, esto podría ser ambiguo, pero creo que sé a qué te refieres.
Un operador lineal [matemático] T [/ matemático] es solo una función lineal que lleva elementos de un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] a otro espacio vectorial [matemático] W [/ matemático]. En álgebra lineal de dimensión finita, si [matemática] V [/ matemática] es [matemática] d [/ matemática] dimensional, y [matemática] W [/ matemática] es [matemática] n [/ matemática] dimensional, entonces [matemática] T [/ math] siempre se puede representar como una matriz [math] n \ times d [/ math]. Sin embargo, los matemáticos a menudo están interesados en estudiar colecciones de funciones que poseen ciertas propiedades. Por ejemplo, [math] L ^ p (\ mathbb {R}) [/ math] es el espacio vectorial de funciones con valores reales o complejos [math] f [/ math] que satisfacen
[matemáticas] \ int _ {\ mathbb {R}} | f (x) | ^ p dx <\ infty. [/matemáticas]
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Resulta que estos espacios comparten ciertas propiedades con espacios vectoriales de dimensiones finitas como [matemáticas] V, W [/ matemáticas] anteriores, y al igual que con el álgebra lineal de dimensiones finitas, las personas están interesadas en estudiar operadores lineales entre estos espacios. Uno de los tipos más comunes de operadores lineales en espacios de funciones es el operador de kernel para algunos kernel [math] k [/ math], llamémoslo [math] K [/ math]. Es dado por
[matemáticas] K (f) (y) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) k (x, y) dx. [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que conectamos una función [matemática] f [/ matemática] y recuperamos otra función [matemática] K (f) [/ matemática]. [math] K [/ math] se llama operador de kernel, y [math] k [/ math] se llama kernel de [math] K [/ math]. Estos operadores en realidad se comportan de manera muy similar a las matrices. (Piense en [math] f [/ math] como un vector de columna infinitamente alto, y [math] k (x, y) [/ math] como una matriz infinita de dos vías. Al reemplazar integrales con sumas, puede verificar que esto El operador está esencialmente multiplicando la matriz [matemáticas] k (x, y) [/ matemáticas] por el vector [matemáticas] f [/ matemáticas].)
Ahora, para ciertos espacios de funciones donde se define la transformada de Fourier (en particular en el espacio [matemática] L ^ 2 (\ R) [/ matemática]) podemos representar una función [matemática] f [/ matemática] por su transformada de Fourier [matemáticas] \ widehat {f} [/ matemáticas]. La función [math] \ widehat {f} [/ math] contiene toda la misma información que contiene [math] f [/ math], por lo que podemos definir un operador de kernel que “actúe” en el dominio de Fourier. Por ejemplo, podríamos definir lo siguiente.
[matemática] \ widehat {K (f)} (\ xi) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ widehat {f} (\ eta) k (\ eta, \ xi) d \ eta. [/ math]
Observe que definimos la Transformada de Fourier de [math] K (f) [/ math] en lugar de definir [math] K (f) [/ math] directamente. Esto se justifica ya que una función se puede recuperar de su Transformada de Fourier. Por lo tanto, [math] K [/ math] es similar a un operador de kernel, pero el kernel actúa en la transformada de Fourier de [math] f [/ math] en lugar de en [math] f [/ math].
