Parece que está preguntando acerca de los conceptos esenciales en topología. La topología es un tema minimalista. Permítanme comenzar diciendo lo que no está en la topología.
Conceptos no topológicos
La mayor parte de la geometría queda fuera de la topología. No hay líneas rectas, ni ángulos, ni paralelos, ni distancia, ni longitud, ni área, ni volumen. Todos los conceptos habituales de geometría no se convierten en topología.
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La mayor parte del análisis se deja fuera de la topología. No hay sumas, ni derivados, ni tangentes, ni integrales. La mayoría de los conceptos de análisis no se convierten en topología.
Conceptos topologicos
Queda poco para entrar en topología. Un concepto de topología es el espacio , es decir, un espacio abstracto, no un espacio físico. Un espacio tiene puntos, y en un espacio hay un concepto de lo que significa que un punto en ese espacio esté “arbitrariamente cerca” del subconjunto de ese espacio. Otro concepto de topología es la continuidad de funciones de un espacio a otro. Las funciones continuas entre dos espacios topológicos también se denominan mapas. Puede definir la continuidad en términos de “cercanía arbitraria”. Si [math] f: X \ to Y [/ math] es una función, será continua si cada vez que un punto a en X está arbitrariamente cerca de un subconjunto A de X , entonces f ( a ) estará arbitrariamente cerca de f ( A )
Cierre de subconjuntos de un espacio topológico X
Por lo tanto, todo se reduce a lo que significa “cerrar arbitrariamente”. Eso se puede describir en términos del cierre [matemática] \ overline A [/ matemática] de un subconjunto A de X. El cierre incluirá como todos los puntos que están arbitrariamente cerca de A. (Se supone que todos los puntos realmente en A están arbitrariamente cerca de A. )
Solo hay cuatro axiomas, los axiomas de cierre de Kuratowski, necesarios para capturar el concepto de cierre para subconjuntos de un espacio X :
- [math] \ overline \ emptyset = \ emptyset. [/ math] No hay puntos cerca del conjunto vacío.
- [matemáticas] A \ subseteq \ overline A. [/ matemáticas] Cada punto en un subconjunto está cerca de él.
- [matemáticas] \ overline {\ overline A} = \ overline A. [/ math] Si un punto está cerca de un conjunto de puntos cerca de un subconjunto, entonces está cerca del subconjunto.
- [matemática] \ overline {A \ cup B} = \ overline A \ cup \ overline B. [/ math] Esto dice dos cosas. Si un punto está cerca de un subconjunto, entonces está cerca de cualquier subconjunto más grande. Además, si está cerca de la unión de dos subconjuntos, está cerca de uno de ellos.
En las declaraciones de estos axiomas, A y B son cualquier subconjunto de X.
Eso es. Un conjunto X con una operación de cierre que satisface esos axiomas es un espacio topológico. Los únicos conceptos son los puntos y lo que significa que un punto esté arbitrariamente cerca de un subconjunto.
