Desde el anuncio de 2013 de Yitang Zhang de la existencia de un número N (para el cual publicó un límite superior inicial de alrededor de 70,000,000), de modo que existen infinitos pares de números primos que difieren exactamente en N, el Proyecto Polymath se ha estabilizado progreso hacia la reducción de ese límite. A partir de agosto de 2014, el límite actual se sitúa en 6, siempre que se asuma una forma generalizada de la conjetura de Elliott-Halberstam (que coloca un límite superior en la distribución de números primos dentro de las progresiones aritméticas).
Entonces, al rastrear el progreso realizado en la reducción del límite hasta ahora, y luego continuar la progresión geométrica asociada, parece completamente factible que el límite se reduzca a 2 para el año 2026, lo que demuestra la conjetura del primo gemelo (casi incidentalmente). Sin embargo, debe tenerse en cuenta que ha habido un progreso sustancialmente menos prometedor para probar la conjetura de Elliot-Halberstam (que, como mencioné, es un requisito previo necesario para la mayoría del trabajo de Polymath sobre este problema hasta ahora; sin él, el límite permanece en 246). Por lo tanto, a menos que se haga un avance bastante importante allí, una prueba completa de la conjetura del primo gemelo aún puede eludirnos, incluso si el límite finalmente se reduce.
Una cosa que es (quizás) más probable que haya sucedido para 2026 es un nivel dramáticamente aumentado de difusión, exposición y comprensión general de la “Teoría de Teichmüller Inter-universal” de Shinichi Mochizuki dentro de la comunidad matemática más amplia; matemáticos como Ivan Fesenko y Yoichiro Hoshi ya están haciendo un excelente progreso en este sentido. Una vez que el formalismo subyacente de la teoría esté suficientemente aclarado y bien explicado, que los expertos en el campo de la geometría aritmética puedan validar la estructura lógica global de los argumentos de Mochizuki, finalmente podremos verificar la verosimilitud de su prueba propuesta del abc conjetura (además de muchos resultados relacionados, como la fuerte conjetura de Szpiro y una forma parcial de la conjetura de Vojta) sobre campos de números arbitrarios. Claramente, esto no sería una ‘prueba’ original como tal, pero aún así sería un resultado bastante emocionante.
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Sin embargo, al igual que la prueba de Wiles de la conjetura de la modularidad para las curvas elípticas semiestables (que el antiguo supervisor de Wiles, John Coates, famoso por considerar “imposible de probar”), muchos de los resultados matemáticos más conmovedores tienen una tendencia molesta a aparecer completamente inesperadamente . Claro, puede parecer intratable ahora, pero tal vez la hipótesis de Riemann se probará para 2026, o tal vez permanecerá sin resolver durante unos cuantos siglos más (o, de hecho, indefinidamente).
Entonces, aunque también tengo curiosidad por saber qué nuevos teoremas interesantes habremos descubierto para 2026, no puedo evitar sentir que si supiéramos las respuestas a tales preguntas de antemano, las matemáticas simplemente no serían tan divertidas.
