Bueno, ciertamente no hemos encontrado ninguna evidencia que demuestre que no es consistente.
Sabemos que si somos capaces de construir una prueba en ZFC de que ZFC es consistente, entonces eso demostrará que ZFC es inconsistente. Entonces, el camino obvio hacia adelante es tristemente un callejón sin salida.
También sabemos que si puede tomar otros sistemas formales y usarlos para demostrar que ZFC es consistente … pero entonces nos enfrentamos con el problema de demostrar que esos sistemas formales son consistentes y nos encontramos con los mismos problemas.
- ¿Por qué encuentro dos respuestas diferentes en estas ecuaciones? ((2/5) ^ -1) ^ 4x + 2> ((2/5) ^ 3) ^ x-6 y (2/5) ^ 4x + 2> (2/5) ^ -3) ^ x -6?
- Sean A y B dos números naturales. Suponga que cuando A se divide por n, el resto es a, y cuando B se divide por n, el resto es b. ¿Cómo se compara el resto cuando A + B se divide por n en comparación con el resto cuando a + b se divide por n?
- ¿Qué significa que una curva sea compacta?
- ¿Cuál es la longitud del arco del círculo x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 (usando la ecuación cartesiana de rectificación de la curva plana)?
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Algunos afirman sobre esta base que una prueba finitista de que ZFC es consistente es imposible. Eso no es del todo correcto, aunque depende del hecho de que nadie ha dado una definición adecuada de lo que realmente es una “prueba finitista”.
Entonces, por ejemplo, Gentzen demostró en 1936 que la aritmética de Peano es consistente al hacer uso de la inducción transfinita. Si eso cuenta como una “prueba finitista” no está claro.
Del mismo modo, sabemos que si acepta la existencia de un cardenal débilmente inaccesible, ZFC es consistente.
En resumen: ZFC es probablemente consistente, pero proporcionar una prueba es difícil o imposible (dependiendo de lo que acepte como prueba).
