¿Para qué se usan los factoriales no enteros?

Factorial nos dice de cuántas maneras podemos organizar n objetos. Entonces surge la pregunta obvia en cuanto a cuántas formas podemos ordenar 3.5 objetos. Ahora, esto no parece realmente significativo. Quiero decir, ¿qué es 0.5 un objeto en primer lugar?

Pero esto es matemática. Y las matemáticas se trata de comunicar y extender conceptos. La idea de organizar objetos no se formalizó realmente hasta que alguien inventó la función factorial. Una vez que se formalizó, ¡supimos lo que significaba “organizar”! Esto es bastante común en la ciencia, donde comenzamos con una idea vaga, la formalizamos usando matemáticas y luego declaramos que las matemáticas son el significado de las nociones vagas que alguna vez tuvimos.

Ahora hay muchas publicaciones aquí que dicen que la función Gamma es la extensión de la función factorial. Eso no es del todo cierto. Hay muchas extensiones diferentes, la función Gamma es simplemente la que más se usa.

El ejemplo que daré de su uso es la integración fraccional y la diferenciación fraccional. Augustin Cauchy notó que podía reemplazar una integral doble por una integral única en algunas circunstancias, o más generalmente una integral n + 1 por una integral n. Y comparando las dos expresiones idénticas hay un término en n-factorial. Entonces definió la integración fraccional de esta manera, usando la función Gamma.

¿Cómo sabemos que esta es la definición “correcta”? Bueno, concuerda en todos los puntos enteros con integración normal, tiende a los valores enteros si toma límites, y es suave en el medio. También fue el primero, y a los matemáticos les gusta la definición.

Al igual que la definición de función gamma clásicamente aceptada.

Joseph Murray agarró una de mis razones favoritas, que es el volumen de una bola n-dimensional que se puede expresar en términos de valores de la función Gamma en medios enteros.

Otro ejemplo sería la ecuación funcional de la función Zeta, que refleja la función Zeta de Riemann sobre la línea crítica para dar una extensión analítica de la función Zeta para números complejos negativos reales. Hay análogos a las funciones L que ocurren de manera más general que aún involucran factores Gamma.

Otra aplicación divertida es la familia exponencial Normal-Gamma de Bayesian Statistics: distribución Normal-gamma

Este tipo ofrece una forma razonable de modelar la actualización de sus creencias sobre una distribución normal con nueva información en la que la parte posterior se puede calcular analíticamente.

Hay más aplicaciones en la teoría de los números analíticos y la probabilidad si te interesa googlear un poco más por tu cuenta.

Ocurren en el teorema binomial generalizado. El clásico teorema binomial da la expansión para (x + y) ^ n para cualquier número entero no negativo n. ¡El coeficiente del término k en la expansión es n! / K! (Nk)! Newton demostró que el patrón todavía funciona cuando el exponente n no es un entero no negativo. Sin embargo, el factorial nunca llega a cero, por lo que hay un número infinito de términos en la expansión. Por ejemplo, la expansión de (x + 1) ^ (1/2) comienza 1 + ((1/2) / 1!) X + ((1/2) (- 1/2) / 2!) X ^ 2 + ((1/2) (- 1/2) (- 3/2) / 3!) X ^ 3 + ((1/2) (- 1/2) (- 3/2) (- 5 / 2) / 4!) X ^ 4 +. . . que se simplifica a 1 + (1/2) x – (1/8) x ^ 2 + (1/16) x ^ 3 – (5/128) x ^ 4 +. . .

El teorema del binomio generalizado es importante porque brinda una manera eficiente de estimar las raíces irracionales. Por ejemplo, reemplazando x en el ejemplo anterior con 1, puede calcular una buena estimación para la raíz cuadrada de 2.

Hay una buena explicación de esto en el libro “Viaje a través del genio” de William Dunham en el capítulo sobre Isaac Newton.

La función gamma se puede ver como una extensión de los valores factoriales a no enteros. Eche un vistazo a la función Gamma para ver algunas de las aplicaciones. Como dice en la introducción, en realidad son difíciles de evitar.