Antes de responder, debo aclarar que se hace una distinción en matemáticas entre la función o mapeo que define una curva, y el conjunto de puntos que conforman la entidad visual que es el resultado de aplicar esa función. El último objeto es lo que la pregunta tiene en mente, y se llama la imagen de una curva . Toda la regla de mapeo se llama simplemente una curva, a pesar de consistir en más datos que solo la imagen.
Ahora, si la imagen de una curva se encuentra en el espacio ordinario [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], entonces ser compacta es equivalente a estar cerrada y acotada. En este caso, cerrado simplemente significa que la imagen de la curva contiene sus puntos finales; un no ejemplo sería el intervalo abierto (0,1) contenido en [math] \ mathbb {R} [/ math], o considerado como si viviera en un espacio dimensional superior si lo desea. Los puntos finales que faltan le dan una especie de calidad infinita en el sentido de que puede vivir en la curva y nunca encontrar ningún límite o forma de quedarse atascado, y también nunca podrá visitar cada punto, sin importar qué tan cerca esté de un punto final perdido, todavía hay puntos más cercanos que no visitaste.
Limitado significa que toda la curva puede estar contenida en un cuadro finito (posiblemente un hiperbox si la curva vive en muchas dimensiones). Por lo tanto, no se va al infinito en la escala macro.
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Hablando en términos generales, en compacidad [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] significa que no tienes la capacidad de deambular por un objeto de una manera infinita, de la que hay dos tipos de – o vagando infinitamente lejos lejos (sin límites) o poder deambular infinitamente cerca de un punto sin llegar a alcanzarlo (no estar cerrado). Pero en espacios más generales y exóticos, la compacidad no es equivalente a estar cerrado y acotado, y luego solo tiene que recurrir a la definición.
