Cómo demostrar que cualquier subconjunto de un conjunto finito es finito

Georg Cantor define un conjunto como infinito si tiene un subconjunto adecuado con un mapa biyectivo entre el conjunto y el subconjunto. (Por ejemplo, los números naturales son infinitos porque tienen un subconjunto, los números pares, con la biyección “multiplicando por dos”).

Los conjuntos que no son infinitos se denominan finitos .

Ahora, si nuestro subconjunto [matemáticas] S [/ matemáticas] del conjunto finito [matemáticas] F [/ matemáticas] es infinito, entonces hay un subconjunto apropiado [matemáticas] T \ subconjunto S [/ matemáticas] con una biyección [matemáticas] \ phi: S \ to T [/ math].

Por supuesto, [math] T [/ math] también es un subconjunto de [math] F [/ math]. Definimos el mapeo [math] \ psi: F \ to T \ cup (F \ setminus S) [/ math] como [math] \ psi (x) = \ phi (x) [/ math] para todos [math] x \ en S [/ math] y [math] \ psi (x) = x [/ math] para todos [math] x \ in F \ setminus S [/ math].

Es fácil ver que [math] \ psi [/ math] es una biyección de [math] F [/ math] a [math] T \ cup (F \ setminus S) [/ math].

Cuando se generó la idea de subconjuntos, y se proclamó la definición de subconjunto, ese es el caso.

Un subconjunto de un conjunto finito es finito porque lo decimos.

¿Cómo probarías que una combinación de cosas sin repetición de una lista que no es infinita también será una lista finita?

En primer lugar, si no introduce conjuntos infinitos, ni siquiera tiene que hacerlo.

En segundo lugar, para continuar sin cesar, la repetición tendría que estar permitida.

No tiene que demostrarlo, solo acepta el sistema matemático, ya que es parte del sistema.

Si tengo una canasta de manzanas y tomo cualquier cantidad de manzanas de la canasta, ¿cómo pruebo que no tomé infinitas manzanas?

Porque duh

Y honestamente, no necesita ser más intelectual que eso.

Depende un poco de cómo elige exactamente “finito”. Supongamos que tomamos la siguiente definición: un conjunto [matemático] S [/ matemático] es finito si hay una biyección [matemática] \ varphi [/ matemática] de [math] S [/ math] a [math] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math] para algún entero positivo [math] n [/ math], o al conjunto vacío .

Ahora, dejemos que [math] S ‘[/ math] sea un subconjunto de [math] S [/ math]. Si [math] S ‘[/ math] es el conjunto vacío, hemos terminado, por lo que supondremos que [math] S’ [/ math] no está vacío. Podemos considerar la restricción de [math] \ varphi [/ math] a este subconjunto [math] S ‘[/ math] —esto será una biyección [math] \ left. \ Varphi \ right | _ {S’}: S ‘\ rightarrow \ varphi (S’) \ subset \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math].

Si existe una biyección [matemática] \ varphi ‘: \ varphi (S’) \ rightarrow \ left \ {1,2, \ ldots m \ right \} [/ math], entonces [math] \ varphi ‘\ circ \ left. \ varphi \ right | _ {S ‘} [/ math] será una biyección de [math] S’ [/ math] a [math] \ left \ {1,2, \ ldots m \ right \} [ / math], y habremos demostrado que [math] S ‘[/ math] es finito.

Por lo tanto, es suficiente demostrar que cualquier subconjunto [matemático] P [/ matemático] de [matemático] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ matemático] debe ser finito. Para probar esto, tenemos que investigar cómo se define exactamente [matemática] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math].

Por supuesto, se podría construir esto directamente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Sin embargo, esto me haría llorar, así que tomemos como dado que hay un modelo de axiomas de Peano dentro de ZF (es decir, un conjunto [math] \ mathbb {N} [/ math] con las propiedades dadas por el Axiomas de Peano) y defina [matemáticas] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math] como el subconjunto de [math] \ mathbb {N} [/ math] que consta de elementos [math ] \ leq n [/ math].

Como [math] \ mathbb {N} [/ math] está bien ordenado y [math] P [/ math] es un subconjunto, [math] P [/ math] tiene un elemento más pequeño [math] x_1 [/ math] . Considere el conjunto [matemáticas] P – \ {x_1 \} [/ matemáticas]. Este también es un subconjunto de [math] \ mathbb {N} [/ math], por lo tanto, si no está vacío, tiene un elemento más pequeño [math] x_2 [/ math]. De hecho, definimos inductivamente una secuencia [math] x_1, x_2, x_3, \ ldots [/ math] de la siguiente manera: si [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_k \} [/ math] está vacío, entonces [matemáticas] x_ {k + 1} = x_k [/ matemáticas]. De lo contrario, [math] x_ {k + 1} [/ math] es el elemento más pequeño de [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_k \} [/ math].

Tenga en cuenta que [math] P [/ math] tiene un elemento más grande, ya que [math] f (x) = n + 1 – x [/ math] es una biyección que lleva [math] P [/ math] a otro subconjunto de [ math] \ mathbb {N} [/ math], que debe tener un elemento más pequeño; la imagen previa de ese elemento es el elemento más grande de [math] P [/ math]. Digamos que el elemento más grande es [math] M [/ math]. Luego afirmo que [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ math] está vacío.

He aquí por qué: el elemento más pequeño de [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ math] debe ser mayor que

[matemáticas] \ begin {align *} x_M & = x_1 + (x_2 – x_1) + (x_3 – x_2) + \ ldots + (x_M – x_ {M – 1}) \\ & \ geq 1 + 1 + 1 + \ ldots + 1 \\ & = M \ end {align *} [/ math].

Pero el elemento más grande de [matemática] P [/ matemática] es [matemática] M [/ matemática], por lo que es imposible que [matemática] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ matemática] un elemento más grande que [math] M [/ math]! Por lo tanto, [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ math] está vacío. Ahora, dejando que [math] M ‘[/ math] sea el número entero más pequeño tal que [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_ {M’} \} [/ math] está vacío, vemos que [math ] P = \ {x_1, x_2, \ ldots x_ {M ‘} \} [/ math].

Ah, pero esto significa que hemos terminado, ya que el mapa [math] x_l \ mapsto l [/ math] es una biyección de [math] P [/ math] a [math] \ {1,2, \ ldots M ‘\ } [/matemáticas].

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