Depende un poco de cómo elige exactamente “finito”. Supongamos que tomamos la siguiente definición: un conjunto [matemático] S [/ matemático] es finito si hay una biyección [matemática] \ varphi [/ matemática] de [math] S [/ math] a [math] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math] para algún entero positivo [math] n [/ math], o al conjunto vacío .
Ahora, dejemos que [math] S ‘[/ math] sea un subconjunto de [math] S [/ math]. Si [math] S ‘[/ math] es el conjunto vacío, hemos terminado, por lo que supondremos que [math] S’ [/ math] no está vacío. Podemos considerar la restricción de [math] \ varphi [/ math] a este subconjunto [math] S ‘[/ math] —esto será una biyección [math] \ left. \ Varphi \ right | _ {S’}: S ‘\ rightarrow \ varphi (S’) \ subset \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math].
Si existe una biyección [matemática] \ varphi ‘: \ varphi (S’) \ rightarrow \ left \ {1,2, \ ldots m \ right \} [/ math], entonces [math] \ varphi ‘\ circ \ left. \ varphi \ right | _ {S ‘} [/ math] será una biyección de [math] S’ [/ math] a [math] \ left \ {1,2, \ ldots m \ right \} [ / math], y habremos demostrado que [math] S ‘[/ math] es finito.
Por lo tanto, es suficiente demostrar que cualquier subconjunto [matemático] P [/ matemático] de [matemático] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ matemático] debe ser finito. Para probar esto, tenemos que investigar cómo se define exactamente [matemática] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math].
Por supuesto, se podría construir esto directamente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Sin embargo, esto me haría llorar, así que tomemos como dado que hay un modelo de axiomas de Peano dentro de ZF (es decir, un conjunto [math] \ mathbb {N} [/ math] con las propiedades dadas por el Axiomas de Peano) y defina [matemáticas] \ left \ {1,2, \ ldots n \ right \} [/ math] como el subconjunto de [math] \ mathbb {N} [/ math] que consta de elementos [math ] \ leq n [/ math].
Como [math] \ mathbb {N} [/ math] está bien ordenado y [math] P [/ math] es un subconjunto, [math] P [/ math] tiene un elemento más pequeño [math] x_1 [/ math] . Considere el conjunto [matemáticas] P – \ {x_1 \} [/ matemáticas]. Este también es un subconjunto de [math] \ mathbb {N} [/ math], por lo tanto, si no está vacío, tiene un elemento más pequeño [math] x_2 [/ math]. De hecho, definimos inductivamente una secuencia [math] x_1, x_2, x_3, \ ldots [/ math] de la siguiente manera: si [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_k \} [/ math] está vacío, entonces [matemáticas] x_ {k + 1} = x_k [/ matemáticas]. De lo contrario, [math] x_ {k + 1} [/ math] es el elemento más pequeño de [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_k \} [/ math].
Tenga en cuenta que [math] P [/ math] tiene un elemento más grande, ya que [math] f (x) = n + 1 – x [/ math] es una biyección que lleva [math] P [/ math] a otro subconjunto de [ math] \ mathbb {N} [/ math], que debe tener un elemento más pequeño; la imagen previa de ese elemento es el elemento más grande de [math] P [/ math]. Digamos que el elemento más grande es [math] M [/ math]. Luego afirmo que [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ math] está vacío.
He aquí por qué: el elemento más pequeño de [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ math] debe ser mayor que
[matemáticas] \ begin {align *} x_M & = x_1 + (x_2 – x_1) + (x_3 – x_2) + \ ldots + (x_M – x_ {M – 1}) \\ & \ geq 1 + 1 + 1 + \ ldots + 1 \\ & = M \ end {align *} [/ math].
Pero el elemento más grande de [matemática] P [/ matemática] es [matemática] M [/ matemática], por lo que es imposible que [matemática] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ matemática] un elemento más grande que [math] M [/ math]! Por lo tanto, [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_M \} [/ math] está vacío. Ahora, dejando que [math] M ‘[/ math] sea el número entero más pequeño tal que [math] P – \ {x_1, x_2, \ ldots x_ {M’} \} [/ math] está vacío, vemos que [math ] P = \ {x_1, x_2, \ ldots x_ {M ‘} \} [/ math].
Ah, pero esto significa que hemos terminado, ya que el mapa [math] x_l \ mapsto l [/ math] es una biyección de [math] P [/ math] a [math] \ {1,2, \ ldots M ‘\ } [/matemáticas].