¿Por qué los matemáticos están tan interesados ​​en la raíz cuadrada de la negativa?

Hay que recordar la diferencia entre un ingeniero y un matemático. Recuerde que uno piensa en matemáticas del mundo real y el otro piensa en abstracto. Y aunque para alguien que no hace matemáticas, parece que una raíz cuadrada de la negativa es abstracta para un matemático, en realidad es una idea muy concreta (especialmente si formula una pregunta de esa manera). Para aclarar este punto, miré un programa del MIT, aquí está lo que se publica como explicación de lo que los matemáticos piensan en la teoría de números.

“ Los números enteros y primos han fascinado a las personas desde la antigüedad. Recientemente, el campo ha visto grandes avances. La resolución del último teorema de Fermat por Wiles en 1995 desencadenó una serie de actividades relacionadas que continúan sin cesar hasta el presente, como la reciente solución de Khare y Wintenberger de la conjetura de Serre sobre la relación entre las representaciones modernas de Galois y las formas modulares. La hipótesis de Riemann, un problema del milenio de arcilla, es parte de la teoría analítica de números, que emplea métodos analíticos (cálculo y análisis complejo) para comprender los enteros. Los avances recientes en esta área incluyen la prueba de Green-Tao de que los números primos ocurren en progresiones aritméticas arbitrariamente largas. El Programa Langlands es una amplia serie de conjeturas que conectan la teoría de números con la teoría de representación. La teoría de números tiene aplicaciones en informática debido a las conexiones con la criptografía.

Los intereses de investigación de nuestro grupo incluyen representaciones de Galois, variedades Shimura, formas automorfas, celosías, aspectos algorítmicos, puntos racionales en variedades y la aritmética de superficies K3 ”. Teoría de números | MIT Matemáticas

Entonces, aunque -1 es un número entero y la raíz cuadrada es una función uno a uno, ocurre una observación particular que se enseña típicamente en el curso de álgebra de segundo año, no es el tema principal en la teoría de números.

y en lo que respecta a Topolodgy …

” Topología algebraica

La noción de forma es fundamental en las matemáticas. La geometría se refiere a las propiedades locales de la forma, como la curvatura, mientras que la topología implica propiedades a gran escala, como el género. Los métodos algebraicos se vuelven importantes en la topología cuando se trabaja en muchas dimensiones, y ahora se emplean partes cada vez más sofisticadas del álgebra. En la topología algebraica, investigamos espacios asignándolos a objetos algebraicos como grupos, y de ese modo ponemos en juego nuevos métodos e intuiciones del álgebra para responder preguntas topológicas. Por ejemplo, la aritmética de las curvas elípticas, que estaba en el corazón de la solución de Andrew Wiles de la conjetura de Fermat, se ha incorporado a la topología, dando herramientas nuevas y muy poderosas para el estudio de objetos geométricos.

Nuestro departamento ha desempeñado un papel fundamental en esta línea de investigación, que ahora se ha convertido en una disciplina importante. El profesorado y los instructores del MIT han llegado a hacer conexiones con segmentos aún más elaborados y contemporáneos de geometría algebraica aritmética, y ahora están en el proceso de reelaborar toda esta área, creando una profunda unificación de la geometría algebraica y la topología algebraica. Este trabajo formará la base de muchas investigaciones durante la próxima década y ofrece la promesa de proporcionar herramientas útiles en álgebra y en topología.

Específicamente, nuestro grupo trabaja en teoría de homotopía estable e inestable, teoría de grupo homotópica, teoría de categoría superior, geometría algebraica derivada, cohomología elíptica, teoría de homotopía computacional y topología de cuerda ”. Topología algebraica

recuerde nuevamente lo que dice el teorema de Fernat: “ En teoría de números, el último teorema de Fermat (a veces llamado conjetura de Fermat, especialmente en textos más antiguos) establece que no hay tres enteros positivos a, byc que satisfagan la ecuación a ^ n + b ^ n = c ^ n para cualquier valor entero de n mayor que 2. Se sabe que los casos n = 1 yn = 2 tienen infinitas soluciones desde la antigüedad. [1] “ El último teorema de Fermat – Wikipedia

Como puede ver, no es una idea ampliamente utilizada, sin embargo, estoy de acuerdo en que las personas que trabajan con la aplicación de Matemáticas usan la idea un poco más.

vea abajo.

Funciones matemáticas: raíz cuadrada

Dicho esto, pensamos bastante en la estimación de la raíz cuadrada de los cuadrados no perfectos.

“Álgebra lineal y sus aplicaciones, 284: 193-228, noviembre de 1998

socp.pdf

Charla SIAM: socp-talk.pdf

En un programa de cono de segundo orden (SOCP), una función lineal se minimiza sobre la intersección de un conjunto afín y el producto de conos de segundo orden (cuadráticos). Los SOCP son problemas convexos no lineales que incluyen programas cuadráticos lineales y (convexos) como casos especiales, y surgen en muchos problemas de ingeniería, como el diseño del filtro, el diseño del peso de la matriz de antenas, el diseño del armazón, la estimación robusta y los problemas relacionados con la fricción (p. Ej. ) En este artículo describimos la teoría básica de los SOCP, una variedad de aplicaciones de ingeniería y un método eficiente de punto interior primario-dual para resolver los SOCP. El algoritmo que describimos comparte muchas de las características de los métodos primarios-dobles de punto interior para la programación lineal (LP): el análisis teórico en el peor de los casos muestra que el número de iteraciones requeridas para resolver un problema crece como máximo a medida que la raíz cuadrada del problema tamaño, mientras que los experimentos numéricos indican que el número típico de iteraciones oscila entre 5 y 50, casi independiente del tamaño del problema ”. Aplicaciones de la programación de cono de segundo orden

Hay una respuesta muy simple de la ciencia cognitiva.

Usamos imágenes simples para ayudarnos a trabajar con conceptos matemáticos. La ciencia cognitiva llama a estos “esquema de imagen”. La “línea numérica” ​​es una imagen, donde imaginas que cada número real corresponde a un lugar en la línea. Los “lugares” son muy fáciles de visualizar, por lo que es fácil entender los números reales al pensar en ellos como lugares. Es una imagen en su mente a la que hace referencia cuando piensa en los números.

También puede visualizar números reales como “longitudes”. Esto también es fácil de visualizar. Pero tenga en cuenta que las longitudes y los lugares son dos cosas diferentes. Estos son dos esquemas de imagen diferentes. Tenga en cuenta que no existe una “longitud negativa”, por lo que no puede imaginar un número negativo como una longitud.

La multiplicación se puede visualizar en términos de longitudes y áreas: un producto es el área de un rectángulo. En este esquema de imagen, los “cuadrados” de números se pueden visualizar como áreas de forma cuadrada. Este es otro esquema de imagen. Pero debido a que no hay longitudes negativas, no puedes imaginar la multiplicación por un número negativo de esta manera.

Las personas con entrenamiento en física pueden visualizar los números como “desplazamientos” o “vectores”. Un desplazamiento tiene una longitud y una dirección. Los números negativos son desplazamientos en la dirección opuesta. En este esquema de imagen, todas las reglas de multiplicar por un negativo tienen sentido. Si multiplica dos negativos, invierte la dirección dos veces y termina con un positivo. Tiene sentido, y puedes imaginarlo.

Así que ahora llegamos a números complejos, como la raíz cuadrada de uno negativo. A primera vista, puede parecer extraño, porque no cabe en la recta numérica, no es un área y no es una longitud. Entonces, si desea visualizarlo usando esos esquemas de imagen, no puede hacerlo. Entonces parece raro.

Pero podemos usar un esquema de imagen diferente para representar números complejos, llamado plano complejo. Cada “lugar” en el avión es un número complejo particular, así como cada lugar en la recta numérica era exactamente un número real. Esto es fácil de visualizar y no tiene nada de extraño.

En el plano complejo, como con los vectores, cada número tiene una dirección y una longitud. Podemos pensar en esta dirección como una cantidad particular de rotación. Marca la longitud y gira una línea a través del origen hasta llegar al punto correcto. Esta es una manera de describir cada punto en el plano.

Para multiplicar dos números complejos, multiplique las longitudes y agregue la rotación. Eso significa que multiplicar es similar a rotar. Cuando multiplica -1 por -1, gira 180 grados dos veces, y listo, obtiene 1. Todo funciona.

Los estudiantes de física reconocerán que las ecuaciones para cualquier tipo de rotación o vibración generalmente usan números complejos. Eso es porque describen las rotaciones fácilmente. Esta es la forma normal en que se usan. En este contexto, los números complejos no tienen nada de extraño: son solo una forma ordenada de representar una rotación y una longitud.

De vuelta a i. Cuando saca una raíz cuadrada, toma la raíz cuadrada de la longitud y luego corta la rotación por la mitad. Puedes imaginar fácilmente cómo funciona esto. No es misterioso en absoluto si lo visualizas en el plano complejo. La raíz cuadrada de la negativa es la raíz cuadrada de uno (es decir, 1) girado 1/2 de 180 grados, o exactamente 90 grados. Directamente desde el origen. Llamamos a este número, este “lugar”, i.

Entonces, la respuesta de la ciencia cognitiva es la siguiente: no hay nada extraño en i si está visualizando números complejos utilizando el esquema de imagen más fácil. Solo es extraño si estás tratando de visualizarlo usando un esquema de imagen inapropiado.

Referencia: De dónde viene la matemática por George Lakoff y Rafael Núñez.

Existe un conjunto completo de problemas algebraicos que involucran polinomios, así como la extensión de este conjunto, como las series de potencia.

Todos los polinomios reales de primer grado [matemática] ax + b [/ matemática] tienen un cero, un valor de [matemática] x [/ matemática] para el cual [matemática] ax + b = 0 [/ matemática]. Polinomios de segundo grado: [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] puede tener cero, uno o dos ceros. Por ejemplo, [matemática] x ^ 2 [/ matemática] tiene solo un cero, para [matemática] x = 0 [/ matemática], mientras que [matemática] x ^ 2-1 [/ matemática] tiene dos ceros: [matemática] x = 1 [/ matemática] y [matemática] x = -1 [/ matemática]. OTOH, [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] no tiene ceros.

Los polinomios reales de tercer grado tienen uno, dos o tres ceros. Grado 4, cualquier número de ceros de 0 a 4. Grado 5, de 1 a 5, y así sucesivamente. Sin embargo, podemos notar que [math] x ^ 2 = 0 [/ math] tiene solo una solución, pero esa solución puede verse como una solución doble. Entonces [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math] tiene dos o ninguna solución, incluidas las soluciones de cardinalidad 2.

La cuadrática se puede resolver fácilmente completando el cuadrado, y obtenemos: \ begin {ecation} x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2- 4ac}} {2a}. \ End {ecation}

Si [matemática] b ^ 2-4ac = 0 [/ matemática], tenemos una solución de cardinalidad 2. Si [matemática] b ^ 2-4ac> 0 [/ matemática] tenemos dos soluciones diferentes, y si [matemática] b ^ 2-4ac <0 [/ math], entonces no hay solución.

A menos que podamos imaginar una solución para los reales negativos.

Si [math] b ^ 2-4ac <0 [/ math], entonces [math] b ^ 2-4ac = (- 1) \ times (4ac-b ^ 2) [/ math] con [math] 4ac-b ^ 2> 0 [/ matemáticas]. Si las raíces cuadradas imaginarias se comportan como raíces cuadradas reales, entonces [matemáticas] \ sqrt {b ^ 2-4ac} = \ sqrt {(- 1) \ times (4ac-b ^ 2)} = \ sqrt {-1} \ times \ sqrt {4ac-b ^ 2} [/ math], donde [math] \ sqrt {4ac-b ^ 2} [/ math] es la raíz cuadrada de un real positivo y, por lo tanto, real. Por lo tanto, solo necesitamos una unidad imaginaria, y todas las demás raíces cuadradas serían solucionables.

Puede ser cualquier otro que [math] \ sqrt {-1} [/ math]. Podría ser cualquier otro número complejo no real. Pero [math] \ sqrt {-1} [/ math] permite una escritura más concisa.

Entonces, se le dio un nombre: [math] i [/ math]. Entonces, si b ^ 2- 4ac <0, entonces \ sqrt {b ^ 2 -4ac} = i \ sqrt {4ac-b ^ 2}, y podemos afirmar que ax ^ 2 + bx + c = 0 tiene una solución, incluso cuando 4ac> b ^ 2, como: \ begin {ecation} x = \ frac {-b \ pm i \ sqrt {4ac-b ^ 2}} {2a}. \ end {ecation}

Con la inclusión de [math] i \ mathrel {: =} \ sqrt {-1} [/ math], y el campo extendido de números complejos [math] \ mathbb C = \ mathbb R (i) [/ math], podemos resolver no solo cualquier cuadrático, sino también cualquier polinomio con coeficientes reales o complejos.

De todos los complejos posibles que podemos usar como extensor, [math] \ sqrt {-1} [/ math] produce los resultados más concisos. También podríamos usar algún otro valor, como la solución imaginaria de [math] x + \ frac1x = 0 [/ math]. Si [math] j [/ math] es una solución de [math] x + \ frac1x = 0 [/ math], entonces [math] \ sqrt {-1} = \ frac {j- \ frac1j} {\ sqrt3} [ / math]: podemos escribir todos los resultados complejos en términos de [math] j [/ math], pero a excepción de algunos resultados, como [math] x ^ 3 + 1 = 0 [/ math], cuyas soluciones serían [matemáticas] j, -1, \ frac1j [/ matemáticas], la mayoría de los resultados serían engorrosos.

Entonces, por eso usamos [math] \ sqrt {-1} [/ math]: resuelve problemas.

La raíz cuadrada de la negativa (representada comúnmente por i o j) es increíblemente útil para hacer matemáticas complejas con funciones periódicas porque se puede usar para representar la posición y el movimiento en un eje “imaginario”, así como a través del real los números sin representa Esto se debe a la identidad de Euler, que se considera una de las fórmulas más bellas de las matemáticas:

Con algunos cambios utilizando identidades trigonométricas, esta fórmula se puede reorganizar para incluir un pecado y un coseno. Al cambiar el valor de phi (el extraño garabato) en esta fórmula, se mueve un punto [cos (phi), sin (phi)] a lo largo de un círculo en el plano imaginario real:

e ^ (ix) es una taquigrafía muy agradable para este círculo. Para ser claros, por e ^ (ix) quiero decir:

¿Por qué esto importa tanto?

Si solo observa el componente real del punto que se mueve en este círculo, sigue una onda sinusoidal. Si no está familiarizado, las ondas sinusoidales y cosenoidales son ejemplos de funciones periódicas que se pueden usar para representar cosas que circulan como mareas, ondas, sonido, movimiento de péndulos y electricidad de CA. Aquí hay una trama de uno en el plano familiar xy:

La operación de simplemente tomar la parte real del círculo se realiza agregando | estos |. Representando esta onda sinusoidal como

Hace mucho más fácil hacer cálculos matemáticos con él.

Un ejemplo de dónde esto facilita las cosas es el fasor, que se utiliza para representar una señal de CA en ingeniería eléctrica y electrónica.

Fasor – Wikipedia

Esto no debe confundirse con el fasor de Star Trek, este es un concepto matemático. Digamos que el voltaje que sale de su pared es V y se puede calcular dado el tiempo actual en segundos usando:

V1 (t) = 20cos (t + 30)

y su compañía eléctrica está a punto de darle un impulso premium que equivale a

V2 (t) = 60cos (t + 50)

Y quieres descubrir cuál es tu nuevo voltaje. No puede simplemente agregar V1 y V2 y obtener una función limpia porque el +30 y el +50 arruinan las cosas. Tendrías

Vnuevo (t) = 20cos (t + 30) + 60cos (t + 50)

Lo cual es matemáticamente asqueroso y tendrás que usar la fórmula de adición de coseno varias veces para limpiarlo. Si convierte v1 y v2 a fasores y los agrega en la forma a + ib, esta adición es álgebra simple:

Vnuevo (t) = 20e ^ (30i) + 60e ^ (50i)

= 17.32 + 10i + 38.56 + 45.96i

= 55.88 + 55.96i = 79e ^ (45i)

= 79cos (t + 45)

Dejé una buena cantidad de cosas, los pasos intermedios se explican en detalle aquí: teoría de circuitos / aritmética de fasores

Pero esencialmente, usando una calculadora y usando notación fasorial, es mucho más rápido hacer cálculos matemáticos limpios con funciones periódicas.

Tiene un nombre (y fama) porque es la forma más sencilla de producir el sistema de números complejos. Podríamos haber utilizado una cantidad designada [matemáticas] u [/ matemáticas] que satisface [matemáticas] u ^ 2 + u = -1 [/ matemáticas] y siempre hubiera sido posible escribir números complejos en la forma [matemáticas] a + bu [/ math] donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​números reales. Pero si tenemos una [matemática] u [/ matemática] entonces [matemática] (\ sqrt {3} (2u + 1) / 3) ^ 2 = 3 (4u ^ 2 + 4u + 1) / 9 = -1 [/ math] y es más fácil trabajar con una raíz cuadrada de -1 que trabajar con una de las raíces cúbicas complejas no triviales de 1 en general. Le daríamos a [math] \ sqrt {3} (2u + 1) / 3 [/ math] el nuevo nombre “[math] i [/ math]” y continuaremos desde allí.

Cualquier otra forma de extender el sistema de números reales con raíces de polinomios que no tienen raíces reales, manteniendo el sistema como un “campo” termina siendo equivalente. Un campo (conmutativo) es un sistema con suma y multiplicación, donde la suma es conmutativa, asociativa y tiene un [matemático] 0 [/ matemático] que satisface [matemático] x + 0 = x [/ matemático] para cualquier [matemático] x [/ math], y donde la multiplicación es conmutativa y asociativa, tiene un [math] 1 [/ math] que satisface [math] 1x = x [/ math] para cualquier [math] x [/ math], donde la multiplicación distribuye además de, [matemática] a (b + c) = ab + ac [/ matemática], y finalmente donde cada elemento distinto de cero [matemática] a [/ matemática] tiene un recíproco, [matemática] ab = 1 [/ matemática ] No es sencillo explicar por qué los campos son buenos, pero lo son.

Hay una extensión adicional que es posible si uno permite que la multiplicación no sea conmutativa y requiera muchas de las otras propiedades de los campos. La extensión más natural de los números reales se llama cuaterniones. Los cuaterniones tienen tres elementos designados [matemática] i [/ matemática], [matemática] j [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] los tres de los cuales son raíces cuadradas de -1. Por lo tanto, solo muestra que tener una raíz cuadrada de -1 es el camino a seguir.

Los números complejos forman un sistema ordenado porque usarlos nos permite entender por qué las cosas son ciertas que de otro modo serían algo misteriosas. Si estudia series de potencias, aprende que una serie de potencia tiene un radio de convergencia, y converge dentro de este radio y diverge hacia afuera (y puede o no converger exactamente en el radio). Entonces, por ejemplo, la expresión [matemáticas] 1 / (1 + z ^ 2) [/ matemáticas] tiene una serie de potencia [matemáticas] 1-z ^ 2 + z ^ 4-z ^ 6 +… [/ matemáticas] que converge en un radio de [matemática] 1 [/ matemática] alrededor de [matemática] z = 0 [/ matemática]. También es posible reescribirlo en términos de [matemática] z-1/2 [/ matemática] y obtener una serie que converge en un radio algo mayor alrededor de [matemática] z = 1/2 [/ matemática]. De hecho, para cualquier valor real de [math] z [/ math] hay una manera de reescribir la serie para que converja a [math] 1 / (1 + z ^ 2) [/ math] cuando estás dentro de cierto radio del valor central elegido.

Entonces podrías preguntarte, ¿por qué solo convergen allí? La función [matemática] 1 / (1 + z ^ 2) [/ matemática] está definida para todos los valores reales de [matemática] z [/ matemática]. Puede parecer un poco extraño que la serie de poder “explote” así. Luego observa la situación en el plano complejo en lugar de solo la línea real. En el plano complejo, la función explota; va al infinito cuando te acercas a [matemática] z = i [/ matemática] y [matemática] z = -i [/ matemática]. El radio de convergencia alrededor de un valor dado de [math] z [/ math] es solo la distancia a cualquiera de los dos que esté más cerca. Si centra su serie de potencia en un punto [matemático] z_0 [/ matemático] en la línea real, entonces la distancia a [matemático] i [/ matemático] y [matemático] -i [/ matemático] es el mismo, [matemático ] \ sqrt {1 + z_0 ^ 2} [/ math], y ese es el radio de convergencia. Los números “imaginarios” [matemática] i [/ matemática] y [matemática] -i [/ matemática] están realmente allí; ¡se nota porque se están interponiendo en el camino de nuestra serie de potencias que convergen en un radio mayor!

Puede explicar cualquier cosa que pueda explicar con números complejos sin referencia a los números complejos, pero en muchos casos se convierte en una explicación menos agradable. En muchos casos, los números complejos ayudan a mostrar que cosas aparentemente diferentes son esencialmente lo mismo.

Excelentes respuestas aquí ya. Simplemente agregaré que muchos conceptos útiles en matemáticas no se corresponden con nuestras nociones naturales de números. El famoso matemático Leopold Kronecker escribió una vez que “Dios hizo los enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Uno podría considerar que los números racionales, como 2/3, también son naturales, pero los irracionales, como pi = 3.14159 … se vuelven un poco más blandos. Lo mismo ocurre con los vectores en más de 3 dimensiones.

Solía ​​ser común que los periódicos publicaran columnas de ajedrez, pequeños rompecabezas con títulos como “Blanco para aparearse en 2 movimientos”, desafiando al lector a encontrar una solución. ¡Una vez que uno de ellos realmente involucraba mover a un caballero a un “cuadrado” fuera del tablero! Entonces, si se permitiera hacer tal movimiento, había una solución para lograr la victoria. En cierto modo, los números complejos son así: si existiera la raíz cuadrada de -1, podemos preguntar qué propiedades tendría. Entonces podemos explotar esas propiedades para encontrar soluciones a problemas que en sí mismos no involucran números complejos. Temporalmente “salimos del tablero”, pero finalmente regresamos.

[2]

Creo que lo tienes todo mal.

Imagine que nos encontramos con una multitud de personas que contienen un matemático y 99 no matemáticos y les mostramos el siguiente póster:

Te apuesto a que los no matemáticos mirarían con adulación frente a la raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y luego contemplarían las increíbles consecuencias de tal número. Por otro lado, el matemático solo decía: “imposible, mi pie” y se aleja.

En otras palabras, lo tienes al revés, amigo mío. No son los matemáticos los que están tan interesados ​​en [matemáticas] \ sqrt {-1} [/ matemáticas]: son todos los demás . Para un matemático, la raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] es tan interesante como el número [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Voy a responder esto de una manera ligeramente diferente a la mayoría de las otras respuestas hasta ahora.

Los números no existen realmente.

Los números son como PALABRAS que usamos, que pueden describir una relación lógica de cosas REALES. Incluso pueden describir una relación lógica de “cosas imaginarias”.

Entonces, por ejemplo, si tenemos cuatro manzanas, las cuatro manzanas existen, pero “cuatro” realmente no existe “en sí mismo”.

Podemos describir como función algo que pone una entrada en un “cuadro” y obtiene una salida.

La “función” es la descripción de la “caja”.

Entonces puedo describir una función particular (e inútil) de la siguiente manera: para una entrada de un “número negativo” obtengo aleatoriamente CUALQUIER “número positivo” como salida.

Ahora, como puedo describir la función, puedo describir una “solución” para una entrada de un número negativo, en ese cuadro, que produce un número negativo. Describo esa solución como una que “no existe”.

Así que ahora podemos ver que así como los “números” en sí mismos no existen, podemos decir que las funciones en sí mismas no tienen que ser “consistentes” con nada más que su definición.

En otras palabras, no hay nada intrínsecamente “incorrecto” al definir CUALQUIER tipo de número “imaginario” o una función “inútil”.

Sin embargo, tenga en cuenta que no debe usar “imaginario” o “complejo” para describir cualquier número que no se base en la raíz cuadrada de 1 negativo, o i.

Si no existe el “boo-boo”, entonces no existe el “cuatro boo-boos”. “Cuatro” por sí mismo no existe, a pesar de que existen cuatro manzanas, y cuatro boo-boos no existen, porque “cuatro” no hace que exista una colección de “boo-boos”.

Pero todavía puedo definir como una “función” como algo donde pongo un boo-boo, en otras palabras, algo que “no existe”, como entrada, y obtengo algo “que existe” como salida. En otras palabras, hay un uso en el mundo REAL de los números “imaginarios”.

Recuerde, dije que los números (y de hecho todas las matemáticas) son como PALABRAS. No tienen que tener ningún significado en absoluto, aparte de lo DESCRITO.

Entonces, la clave para entender aquí es que toda una función es, y una raíz cuadrada es una función, es una definición de qué salida obtendrá con una entrada particular.

En informática, la función SQRT (raíz cuadrada) se especifica claramente en la mayoría de los lenguajes de programación para EXCLUIR los números negativos como el “argumento”, es decir, la entrada.

Pero para que una función sea ÚTIL, todo lo que necesitamos hacer es encontrar “algo” donde la “relación lógica” entre la entrada y la salida “signifique algo” que podamos aplicar en el “mundo real”. Lo que no es tan “útil” en un lenguaje de computadora aún puede ser útil en matemáticas.

Al decir que la raíz cuadrada del negativo 1 es i, NO estamos utilizando un “número real” como salida, por lo que la “relación lógica” entre los números reales TODAVÍA se puede mantener.

Pero entonces podemos usar el “número imaginario” de la salida como entrada para una función CUADRADA, que luego nos dará un “número real” como salida.

La función CUADRADA es muy útil, porque es esencial para la “geometría”: la “medición del mundo”. Por ejemplo, medimos “área” en unidades cuadradas.

Los números negativos son útiles, porque muestran una relación de “diferencia” y “dirección”.

Si tengo 5 MÁS, o “más 5”, que Bob, Bob tiene 5 MENOS, o “5 negativos”, que yo.

Los números imaginarios, por sí mismos, no existen. Y por sí mismos, tampoco “significan algo”, salvo por su definición, por supuesto.

En el mundo real de “medir cosas reales”, la función SQRT no tiene “dirección”. La entrada, o “argumento”, siempre es un número “positivo”.

Pero en el mundo real de “medir cómo CAMBIA el mundo”, la “dirección” sí importa. Por lo tanto, podemos encontrar útil tener números “imaginarios”, como parte de las soluciones para funciones con “entradas que cambian o tienen dirección”.

Un buen ejemplo de cómo esto puede funcionar en el “mundo real” de la ingeniería se encuentra en el análisis de la “potencia” que está siendo “utilizada” por un transformador.

La ecuación para una resistencia es que “potencia” es igual a la corriente por el voltaje. Pero el problema aquí es que los transformadores tienen una corriente “alterna”, que RESISTE la tensión alterna que la creó, a diferencia de una resistencia, que convierte la energía en calor.

En un transformador, se puede considerar matemáticamente que la “potencia” tiene una combinación de componentes “imaginarios” y reales, porque todavía podemos usar la misma función de potencia que en una resistencia, siempre y cuando comprendamos que la “potencia real” – o en otras palabras, de dónde proviene la energía convertida en calor, solo proviene de la parte “real” de la corriente.

La razón por la que los “números complejos”, la combinación de números reales e imaginarios, puede “significar algo”, es porque los números imaginarios pueden usarse en matemáticas que representan un cambio “cíclico”.

Otras respuestas aquí le han mostrado la ecuación de Euler.

Pero esto no es tan útil, hasta que pueda apreciar qué es una función “exponencial” y qué es una “derivada” de una función.

Entonces, con suerte, al menos puede entender que si se trata de un movimiento cíclico que está “cambiando de dirección”, o algún otro tipo de cambio a lo largo del tiempo, “números imaginarios” y “números complejos”

y por favor recuerden una vez más que en matemáticas son solo aquellos basados ​​en i

son muy útiles para analizar el “cambio”.

La historia de las matemáticas es una historia de innovar nuevos campos enteros mediante la resolución de ecuaciones irresolubles:

2–3 =? Insoluble hasta que inventes números negativos.

x ^ 2 = 2? Insoluble hasta que inventes radicales.

1/0 =? Resolver requiere que inventes límites y conduce al cálculo

Infinito + infinito =? Te conseguí el campo del análisis transfinito.

x ^ 2 = -1? Eso condujo a imaginarios, números complejos y, como muestran las otras respuestas aquí, campos completamente nuevos de las matemáticas.

Nunca le digas a un matemático que no pueden hacer algo. Inventarán un nuevo conjunto de números y un campo completamente nuevo de matemáticas para demostrar que estás equivocado.

Basado en la gran cantidad de preguntas que veo que hacer con [math] \ sqrt {-1} [/ math] (y parece ser [math] \ sqrt {-1} [/ math] con las que la gente se obsesiona) que los números complejos [1] en su conjunto), estaría de acuerdo en que el interés parece provenir de la comunidad no matemática y no al revés.

La palabra “imaginario” se usa a menudo, normalmente en el sentido de esto que encontrará en un diccionario, en lugar de un libro de texto de matemáticas. Parece el equivalente de antiguos viajeros que regresan de tierras lejanas y cuentan historias de dragones y unicornios. Hay un interés en el misticismo (en realidad inexistente) asociado con el área.

La realidad es más cotidiana. Traté de capturar la esencia de esto en: Vislumbres de simetría, Capítulo 7 – Acorazados imaginarios y Capítulo 11 – Raíz del problema.

Notas al pie

[1] Los números tienen vida; no son solo símbolos en papel. por Peter James Thomas sobre Peter James Thomas sobre Datos

Ellos no son.

No creo que haya ninguna investigación sobre [matemáticas] i [/ matemáticas] en sí.

Lo interesante es el campo [math] \ mathbb {C}. [/ Math] Una forma de obtenerlo es adjuntando [math] i [/ math] a [math] \ mathbb {R}. [/ Math]

Hay muchas razones por las que es interesante:

• Es el cierre algebraico de [math] \ mathbb {R}. [/ Math]
• Las funciones holomórficas son una clase muy importante de funciones.
• Las superficies de Riemann son una parte importante de la topología.
• Puede generar grupos interesantes a través de superficies complejas.

Pero, de nuevo, [matemáticas] i [/ matemáticas] en sí no es particularmente interesante.

Soy ingeniero de controles. Como tal, mi vida profesional la paso en el dominio de la frecuencia. Es decir, la mayor parte de mi trabajo es con cosas que son funciones de frecuencia. Usar i (o j como preferimos EEs) me permite convertir funciones y operaciones increíblemente complejas en simples multiplicaciones y sumas. Sin sqrt (-1) fácilmente pasaría órdenes de magnitud más tiempo en cada uno de mis problemas. Los matemáticos, por otro lado, están interesados ​​en todos los números por igual. Es decir, rara vez se preocupan por un número cualquiera; más bien los matemáticos viven en el mundo de los símbolos.

No soy una autoridad en el asunto, pero no creo que la raíz cuadrada de la negativa sea algo que interese más a los matemáticos que a cualquier otro aspecto de las matemáticas.

Por cierto, cuando los números se redefinieron para incorporar el número cuadrado de números negativos, poco después se descubrió que el número surgió en la teoría de la electricidad, por ejemplo.

De la misma manera, los inventores de las matrices no vieron ninguna aplicación práctica de su trabajo, pero la teoría de matrices abunda en muchas esferas matemáticas diferentes, desde vectores hasta probabilidad.

No estoy seguro si recuerda las matemáticas de su escuela secundaria, pero uno de los métodos para resolver ecuaciones es cambiar las variables desconocidas, resolver las ecuaciones nuevas para encontrar los valores para las nuevas variables, habiendo encontrado estos valores calcular los valores para las Desconocidos originales. También puede recordar algo coordinado polar. Para mantener este dulce y corto, esto resulta ser un método universal muy poderoso para resolver ecuaciones complejas.

Al mismo tiempo, se descubrió que es más fácil valorar y confiar en las reglas generales, verificar el tipo general de la situación particular y usar la regla general apropiada.

tal vez i (imaginario 1) es de hecho una raíz cuadrada de -1 y los no matemáticos se entusiasman con eso. Los verdaderos matemáticos se entusiasman con el combo de ei y Pi y el triángulo invertido llamado laplassian. El i se usa para especificar las reglas generales y la llamada transformación de Fourier se usa para convertir la situación específica al tipo general para beneficiarse de la solución general allí y usar la transformación de Fourier inversa para volver a la vida real. ¡Soy solo una herramienta como un martillo posfortunado!

Creo que te estás refiriendo a la ley del cuadrado inverso que juega un papel clave en la explicación de la potencia gravitacional.

Es fácil ver por qué los físicos estarían obsesionados con esta construcción matemática clave en su núcleo, es fundamental para explicar la relatividad, así como por qué la gravedad se propaga infinitamente.

Si el área se expande de acuerdo con r ^ 2, pero la fuerza cae de acuerdo con una ley del cuadrado inverso (es decir, r ^ -2), entonces podemos decir que el fenómeno tiene un rango infinito.

Porque un cuadrado suele ser un número multiplicado consigo mismo. Si conoce la regla de las matemáticas que anuncia que un número negativo multiplicado por otro número negativo es igual a un número positivo. Entonces, la pregunta para la que están buscando respuesta es cómo podría X multiplicado por X igual a un número negativo, así que básicamente parece imposible.

No solo la raíz cuadrada de -1, sino todas las raíces y números.

Este número imaginario es causado por -1 * -1 = + 1.