Esto no es exactamente alucinante en el sentido que probablemente quisiste decir, pero sigue siendo un hecho bastante impresionante, creo.
El primer teorema matemático que se creó únicamente para el entretenimiento en un programa de televisión es el Teorema de Futurama (llamado así por el programa en el que apareció). Sin embargo, puede describirse mejor como el “teorema de inversión de intercambio mental”. El teorema fue concebido y probado por Ken Keeler, un escritor del programa que tenía un doctorado en matemáticas aplicadas.
Configuración del problema
- ¿Se pueden explicar todas las cosas matemáticamente?
- ¿Cómo es estudiar matemáticas en UT Austin?
- ¿Cuáles son las probabilidades de predecir cada ganador del juego de la NFL para un mes entero?
- ¿Cuál es la notación de intervalo establecida en general?
- ¿Cuáles son algunas aplicaciones del mundo real de diversas áreas de las matemáticas?
En el episodio “El prisionero de Benda”, el profesor Farnsworth inventa una máquina que permite que dos personas intercambien mentes. Sin embargo, dado que no tuvo en cuenta la “respuesta cerebroinmune”, resultó que dos cuerpos que alguna vez intercambiaron mentes en el pasado no pueden intercambiar mentes entre sí nuevamente.
El problema, entonces, es “si dos personas han cambiado de opinión, ¿se puede alcanzar un estado en el que todos los involucrados vuelvan a sus propios cuerpos con la ayuda de una o más personas?”
Si bien parece trivial, para comprender la dificultad, considere el siguiente caso:
(Notación: Usaré pares numerados ab para denotar pares cuerpo-mente. Por ejemplo, “12” denota el cuerpo de la Persona 1 con la mente de la Persona 2).
- Estado inicial (con dos personas): 11, 22
- Intercambio: 12, 21 (1–2 intercambio de cuerpo prohibido)
- Introducir a una tercera persona, que intercambia con el cuerpo 1 (sin pérdida de generalidad): 13, 21, 32 (1–2 y 1–3 intercambio de cuerpo prohibido)
- El único intercambio que queda es el intercambio 2-3: 13, 22, 31 (no quedan intercambios)
Si continuamos de esta manera, agregando una cuarta y luego una quinta persona a la mezcla, siempre habrá un par que no podrá volver a sus cuerpos originales.
Entonces, ¿cómo resolvemos este problema?
Declaración del teorema
Independientemente de cuántos y qué cambios hayan ocurrido en el pasado, todos los participantes pueden volver a sus cuerpos originales con la ayuda de dos ayudantes previamente no intercambiados (no pueden haberse intercambiado con ninguno de los participantes o entre ellos).
Prueba
Se puede derivar un método general de inversión completa (lo que demuestra que la inversión total siempre es posible). El método es así:
- Haga que todos los participantes no auxiliares se organicen en líneas de conga en las que cada mente se enfrenta a su cuerpo original. Dado que la situación actual se alcanzó únicamente mediante intercambios por pares, se puede demostrar que la situación se reducirá a uno o más anillos (por ejemplo, el cuerpo A enfrenta a B enfrenta a C enfrenta A)
- Comience desenrollando uno de los anillos en una línea (la posición no importa). Intercambie Helper 1 con la persona al frente de la línea. (NO AGREGUE EL CUERPO DEL AYUDANTE 1 AL FRENTE DE LA LÍNEA)
- Luego, desde el final de la línea hacia el frente, intercambie a cada persona por el cuerpo de Helper 2. Cuando se hace esto, todos los participantes en la línea estarán en su cuerpo original, con la excepción de los Ayudantes.
- Repita los pasos 2 y 3 para cada anillo.
- Finalmente, si el número total de anillos fue impar, intercambie los cuerpos de Helpers 1 y 2.
La prueba del teorema también se puede ver en esta captura de pantalla del episodio:
Finalmente, para terminar con una cita deliciosamente irónica del profesor Farnsworth, “¡Y dijeron que las matemáticas nunca tendrían aplicaciones reales ! ”
