Un punto límite en este contexto es un punto en el espacio al que converge una secuencia. Por ejemplo, [math] x_n = \ frac {1} {2 ^ n} [/ math] converge a 0, entonces 0 es un punto límite de esta secuencia.
Un punto fijo está asociado con una función que asigna su dominio a un subconjunto de su dominio (por ejemplo, una función que asigna números reales a números reales). Un punto fijo es un punto que se asigna a sí mismo por esa función. Por ejemplo, si define el mapa [matemáticas] L (x) = \ frac {1} {2} x [/ matemáticas], entonces 0 es un punto fijo de este mapa ya que está asignado a sí mismo (es decir, [matemáticas ] L (0) = \ frac {1} {2} 0 = 0 [/ matemáticas]).
Los puntos límite están asociados con secuencias. Una forma de definir una secuencia es aplicar repetidamente una función. Por ejemplo, la secuencia que escribí en el primer párrafo se puede definir aplicando repetidamente la función que definí en el segundo párrafo. Escribiría esto [matemáticas] x_n = L ^ n (1) [/ matemáticas] donde el superíndice significa que aplica la función [matemáticas] n [/ matemáticas] veces (p. Ej., [Matemáticas] L ^ 2 (x) = L (L (x)) [/ matemáticas]). La función [matemáticas] L [/ matemáticas] que he definido es una contracción (porque su norma es inferior a 1). El punto límite mencionado en el teorema de mapeo de contracción es el límite de la secuencia de iteraciones de esta función. Explícitamente, esta secuencia comienza así:
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[matemáticas] x_1 = L (1), [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = L ^ 2 (1) = L (L (1)), [/ matemáticas]
[matemáticas] x_3 = L ^ 3 (1) = L (L (L (1))), [/ matemáticas]
[matemáticas] \ puntos [/ matemáticas]
El teorema del mapeo de contracción dice que la secuencia definida por esta iteración converge a un punto fijo de la función (en realidad, el “1” al que he aplicado repetidamente la función puede ser reemplazado por cualquier número real). Puede confirmar que es cierto en este caso. En otras palabras, esta secuencia particular converge (al punto límite 0) y este punto límite también es un punto fijo (es decir, satisface [matemáticas] L (0) = \ frac {1} {2} 0 = 0 [ /matemáticas]).
Geométricamente, si aplicas repetidamente una contracción a cualquier punto de partida en el espacio, entonces la secuencia de puntos que obtienes se agrupará alrededor de un punto en el espacio, cada vez más cerca de él. Si aplica la contracción directamente al punto al que se acerca la secuencia, entonces no cambiará.
En resumen :
1) Los puntos límite son a lo que convergen las secuencias convergentes.
2) Los puntos fijos son puntos que se asignan a sí mismos por una función.
3) La secuencia de iteraciones de una contracción aplicada a un elemento arbitrario en un espacio de Banach converge (a un punto límite). El límite de esta secuencia es el punto fijo de la contracción.
