Giuseppe Peano fue un matemático italiano que creó un conjunto de axiomas para definir los números naturales. Sus axiomas son concisos y elegantes. Al usar estos axiomas, las operaciones de la aritmética: conteo, suma y resta, multiplicación y división, se colocan sobre una base rigurosa. Debido a que son axiomas, pueden usarse para cualquier objeto matemático que se ajuste a los axiomas, y los matemáticos han creado otros objetos matemáticos además de los números naturales que se ajustan a los axiomas de Peano. En la teoría de categorías, una categoría que se ajusta a los axiomas de Peano se denomina objeto de número natural (NNO).
Un conjunto [math] \ mathbb {N} [/ math] es isomorfo al conjunto de números naturales si se cumplen los siguientes axiomas:
- [matemáticas] \ existe 0 \ en \ mathbb {N} [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ existe [/ matemáticas] una biyección [matemáticas] \; S: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} ^ * [/ math], es decir
- [matemática] \ forall x \ in \ mathbb {N} [/ matemática], [matemática] [/ matemática] [matemática] \; [/ matemática] [matemática] S (n) \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]
- [matemática] \ nexistas y \ in \ mathbb {N} \; [/ matemática] tal que [matemática] \; [/ matemática] [matemática] S (y) = 0 [/ matemática]
- [matemáticas] S (x) = S (y) \ Leftrightarrow x = y [/ matemáticas]
- Deje que [math] K [/ math] sea un conjunto con las siguientes propiedades:
- [matemáticas] 0 \ en K [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ para todos x \ en K, S (x) \ en K [/ matemáticas]
[matemáticas]\; \; \; [/ math] Entonces [math] \ mathbb {N} \ subseteq K. [/ math]
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El primer axioma crea un elemento inicial de los números naturales. El segundo axioma le da un sucesor a cada elemento, o el siguiente elemento al que ir si está contando, y asegura que elementos distintos tengan sucesores distintos, y viceversa. El tercer axioma permite que la inducción se realice sobre los números naturales, y la mayoría de las pruebas que establecen propiedades de los números naturales se realizarán de manera inductiva utilizando este axioma.
Las operaciones de arithmetc se pueden desarrollar a partir de estos axiomas. Tenga en cuenta que algunas versiones de los axiomas de Peano usan 1 en lugar de 0 como elemento distinguido en el primer axioma, pero al usar 0, garantizamos que [math] \ mathbb {N} [/ math] es un monoide, que es un Estructura particularmente agradable para tener.
Edmund Landau, en Fundamentos de análisis , crea los números racionales, reales y complejos a partir de estos axiomas.
