Para responder en metáfora, las matemáticas son un conjunto de herramientas, y la mente es la mano que las maneja.
Si le das un martillo a alguien que nunca antes ha visto un martillo, no entenderán de inmediato qué es, qué puede hacer o cómo usarlo. Cuando más tarde les quites ese martillo y lo uses para clavar un clavo a través de una tabla …
El primer momento “ajá” es cuando se dan cuenta de que pueden hacer lo mismo, y con su martillo metafórico, comienzan a clavar clavos a través de sus propias tablas.
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La aritmética, en muchos sentidos, es como el martillo. Con práctica, el swing de uno se puede refinar con un martillo. Un clavo se puede colocar en su lugar con cada vez menos oscilaciones, se puede hacer más recto y mejor. De manera similar, con la práctica, uno puede reducir gradualmente la cantidad de pasos necesarios para completar una pregunta de multiplicación, o recordar de memoria o técnica cuántas veces 12 entra en 192.
Pero no todos los problemas son un clavo, y no todas las soluciones son un martillo.
Podemos continuar por el camino de la aritmética simple: proporcione a los estudiantes una calculadora, y reemplazarán su aritmética mental como una pistola de clavos reemplaza un martillo. Ciertamente, hay momentos en que tener una herramienta poderosa es valiosa, pero siempre es importante mantener alguna conexión con los fundamentos. Es posible que pueda clavar clavos a través de tablas más rápido de lo que pueden, pero aún deben tener un propósito para clavar esos clavos.
De hecho, podemos enseñar a los estudiantes una gran cantidad de herramientas matemáticas: la ley de potencia para el cálculo, la secuencia de Fibonacci, el teorema de Pitágoras, y si bien es útil tener una colección de herramientas, su potencial no se aprovecha por completo hasta el segundo ” aha “momento.
El segundo momento “aha” es cuando aprenden que pueden elegir sus propias herramientas.
Con las matemáticas, hay una variedad casi ilimitada de métodos que se pueden aplicar para resolver un problema, y a veces el método exacto se reduce a una preferencia personal. Alguien que haya tenido el segundo momento “ajá” puede comenzar a ver más de un camino hacia la solución deseada y elegir el camino que más le convenga. Uno de mis primeros momentos “ajá” de la segunda etapa vino cuando trataba de memorizar el proceso para derivar la ecuación cuadrática de la forma general. Finalmente me di cuenta de que era mucho más fácil comenzar con la ecuación cuadrática y retroceder. Es lo que me llevó a una unidad de trigonometría a reducir todos los problemas de identidad y teoremas hasta el teorema de Pitágoras y reconstruirlos desde cero.
Alguien que ha tenido el segundo momento “ajá” se ha movido más allá de golpear su siguiente clavo en el tablero, pero comienza a percibir el potencial de lo que puede hacer con dos tableros que ahora están clavados juntos, o una gran variedad de tableros nxn clavados juntos . Comienzan a aplicar algo de visión a su proceso.
El tercer momento “ajá” es cuando buscan sus propios problemas y las soluciones para ellos.
Este es el punto donde alguien puede ir más allá de lo que el libro de texto les está pidiendo, y comienza a hacer sus propias preguntas. Un proyecto mío ha estado tratando de definir un proceso para transformar una curva arbitraria en un espacio cartesiano tridimensional en una rotación helicoidal alrededor de esa curva, con algún proceso o parámetro para definir un radio constante, frecuencia y fase de La transformación relativa a la curva original. Estoy más cerca de resolverlo que cuando lo comencé, pero es posible que nunca llegue a una solución real. Aún así, de alguna manera pequeña, siento que he tenido mi tercer momento “ajá”, porque en ese espacio infinito de posibilidades, he forjado algo para llamarlo mío y explorar (incluso si alguien más obtiene / ha obtenido allí delante de mí).
