Sí, podemos probarlo probando ambas direcciones de una desigualdad no estricta. Primero defina:
[matemáticas] g (y) = sup_ {x} f (x, y) [/ matemáticas]
[matemáticas] h (x) = sup_ {y} f (x, y) [/ matemáticas]
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Luego tenga en cuenta que, por definición de supremum, para todos [math] x, y [/ math]:
[matemáticas] g (y) \ leq b [/ matemáticas] y [matemáticas] h (x) \ leq a [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x, y) \ leq g (y) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x, y) \ leq h (x) [/ matemáticas]
Pero debido a que las desigualdades anteriores son verdaderas para todas [matemáticas] x, y [/ matemáticas] y debido a que no son desigualdades estrictas, se mantienen cuando se toma el supremum, dando:
[matemáticas] f (x, y) \ leq h (x) \ rightarrow g (y) \ leq a \ rightarrow b \ leq a [/ math]
[matemáticas] f (x, y) \ leq g (y) \ rightarrow h (x) \ leq b \ rightarrow a \ leq b [/ math]
Obviamente, la operación clave es la capacidad de mantener desigualdades (no estrictas) mientras se toman supremums. Ver que esto es válido es una aplicación directa de la definición de supremum. Suponga que tiene [math] i (z) \ leq j (z) [/ math] para algunas funciones [math] i, j [/ math] y para todas [math] z. [/ Math]
Luego, suponga [matemáticas] sup_ {z} i (z)> sup_ {z} j (z). [/ math] Pero por definición de supremum:
[matemáticas] j (z) \ leq sup_ {z} j (z) \ rightarrow i (z) \ leq sup_ {z} j (z) \ rightarrow \ sup_ {z} i (z) \ leq sup_ {z} j (z) [/ matemáticas]
para todos [math] z [/ math]. Pero esto contradice nuestra suposición, por lo que la operación que utilizamos anteriormente es válida.
Si he cometido un error en lo anterior, es ser impreciso sobre los dominios de las funciones involucradas.