¿Podemos cambiar el orden del operador supremum? Deje que [math] a = \ sup_x \ sup_y f (x, y) [/ math] y [math] b = \ sup_y \ sup_x f (x, y) [/ math]. ¿Es siempre el caso que [matemáticas] a = b [/ matemáticas]? Si no es así, ¿en qué condiciones es el caso que [matemáticas] a = b [/ matemáticas]?

Sí, podemos probarlo probando ambas direcciones de una desigualdad no estricta. Primero defina:

[matemáticas] g (y) = sup_ {x} f (x, y) [/ matemáticas]

[matemáticas] h (x) = sup_ {y} f (x, y) [/ matemáticas]

Luego tenga en cuenta que, por definición de supremum, para todos [math] x, y [/ math]:

[matemáticas] g (y) \ leq b [/ matemáticas] y [matemáticas] h (x) \ leq a [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x, y) \ leq g (y) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x, y) \ leq h (x) [/ matemáticas]

Pero debido a que las desigualdades anteriores son verdaderas para todas [matemáticas] x, y [/ matemáticas] y debido a que no son desigualdades estrictas, se mantienen cuando se toma el supremum, dando:

[matemáticas] f (x, y) \ leq h (x) \ rightarrow g (y) \ leq a \ rightarrow b \ leq a [/ math]

[matemáticas] f (x, y) \ leq g (y) \ rightarrow h (x) \ leq b \ rightarrow a \ leq b [/ math]

Obviamente, la operación clave es la capacidad de mantener desigualdades (no estrictas) mientras se toman supremums. Ver que esto es válido es una aplicación directa de la definición de supremum. Suponga que tiene [math] i (z) \ leq j (z) [/ math] para algunas funciones [math] i, j [/ math] y para todas [math] z. [/ Math]

Luego, suponga [matemáticas] sup_ {z} i (z)> sup_ {z} j (z). [/ math] Pero por definición de supremum:

[matemáticas] j (z) \ leq sup_ {z} j (z) \ rightarrow i (z) \ leq sup_ {z} j (z) \ rightarrow \ sup_ {z} i (z) \ leq sup_ {z} j (z) [/ matemáticas]

para todos [math] z [/ math]. Pero esto contradice nuestra suposición, por lo que la operación que utilizamos anteriormente es válida.

Si he cometido un error en lo anterior, es ser impreciso sobre los dominios de las funciones involucradas.

Asumiré que su [matemática] f (x, y) [/ matemática] es una función real de dos variables reales (el dominio puede ser cualquier cosa). Realmente hay tres cantidades a considerar; los dos que mencionó y [matemáticas] c: = sup (imagen (f)) [/ matemáticas]. No hay subíndice en ese sup porque la imagen [math] (f) [/ math] es un conjunto no indexado de números reales. Afirmo que tanto a como b son iguales a c (y, por lo tanto, iguales entre sí).

En esta prueba, el “valor” de un punto [matemática] (x, y) [/ matemática] es el número [matemática] f (x, y) [/ matemática].

Prueba: Sea lo que sea [matemática] c [/ matemática], hay una secuencia [matemática] (x_n, y_n) [/ matemática] con valores que convergen a [matemática] c [/ matemática] (en la línea real; esta es la propiedad definitoria de un supremum de un conjunto de números reales). Por lo tanto, [math] a [/ math] no puede ser menor que [math] c [/ math]; si fuera así, podríamos encontrar un punto [math] (x_0, y_0) [/ math] con un valor mayor que [math] a [/ math]. Esto es una contradicción, porque el conjunto interno debe contener un valor al menos tan grande como [math] f (x_0, y_0) [/ math].

Para la desigualdad opuesta, podemos construir de manera similar una secuencia con valores que converjan a [math] a [/ math], y aplicar el mismo argumento. Pero esta construcción es un poco más técnica: arreglemos una notación: [matemáticas] p_x: = sup_y f (x, y) [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] a = sup_x p_x [/ matemáticas]. Cualquiera que sea [math] a [/ math], hay una secuencia [math] (x_n) [/ math] donde la secuencia correspondiente [math] p_ {x_n} [/ math] converge a [math] a [/ math] . Deje que [math] k [/ math] sea un entero positivo arbitrario; Construyo un punto [math] (x_k, y_k) [/ math] con valor dentro de [math] 1 / k [/ math] de [math] a [/ math]. De hecho, elija [matemática] N [/ matemática] para que [matemática] p_ {x_N} [/ matemática] esté dentro de [matemática] 1 / 2k [/ matemática] de [matemática] a [/ matemática], y luego elija [ matemática] y [/ matemática] para que [matemática] f (x_N, y) [/ matemática] esté dentro de [matemática] 1 / 2k [/ matemática] de [matemática] p_ {x_N} [/ matemática] (tal un [ math] y [/ math] existe por la definición de [math] p_x [/ math]). Por la desigualdad del triángulo, [matemática] f (x_N, y) [/ matemática] está dentro de [matemática] 1 / k [/ matemática] de [matemática] a [/ matemática]. Establezca [math] (x_k, y_k) [/ math] en [math] (x_N, y) [/ math]. (Observación: tanto [matemática] x_N [/ matemática] como [matemática] y [/ matemática] dependen de [matemática] k [/ matemática] porque la elección de [matemática] k [/ matemática] decide [matemática] N [/ math], que determina [math] x_N [/ math], que determina [math] y [/ math]).

Este procedimiento define una secuencia [matemática] (x_k, y_k) [/ matemática] con valores que convergen a [matemática] a [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] c [/ matemática] no puede ser menor que [matemática] a [/ matemática], porque si lo fuera, podríamos encontrar [matemática] (x_0, y_0) [/ matemática] con un valor mayor que [matemática] c [ / math], que contradice la definición de [math] c [/ math].

Esto prueba [matemática] a = c [/ matemática], luego aplica el argumento anterior a [matemática] g (x, y): = f (y, x) [/ matemática], que intercambia [matemática] a [/ matemática ] y [matemática] b [/ matemática] pero deja [matemática] c [/ matemática], demostrando [matemática] b = c [/ matemática] (por supuesto, podría escribir un argumento separado para [matemática] b [/ matemática] intercambiando algunas letras en el párrafo anterior).

Observación: Esta prueba solo supone que [math] f [/ math] está acotado, de modo que las tres cantidades son finitas. Podrías probar la versión infinita de manera similar. La suposición de que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​variables reales es innecesaria; podrían ser de cualquier conjunto. En particular, no asumí que [math] f [/ math] era continuo ni nada por el estilo, y el dominio es arbitrario porque las secuencias existirán en cualquiera que sea el dominio.

Sip. Utilizamos el siguiente lema: Si [math] x <\ sup_i f (i) [/ math], entonces existe un [math] i_0 [/ math] tal que [math] f (i_0)> x [/ math] . La prueba de esto es por contradicción; si esto no es cierto, entonces [math] x [/ math] sería un límite superior inferior, lo que contradice la definición de supremum.

Supongamos, en aras de la contradicción, que [matemática] a a [/ matemáticas]. Aplicando el lema nuevamente, para esta [matemática] y_0 [/ matemática], existe una [matemática] x_0 [/ matemática] tal que [matemática] f (x_0, y_0)> a [/ matemática]. Pero eso significa que, para este valor de [matemática] x_0 [/ matemática], [matemática] \ sup_y f (x_0, y) \ geq f (x_0, y_0)> a [/ matemática], y por lo tanto [matemática] \ sup_x \ sup_y f (x, y)> a [/ math], lo cual es una contradicción.

El caso [math] a> b [/ math] es similar. Por lo tanto, [matemáticas] a = b [/ matemáticas].

Esto debería generalizarse a todos los conjuntos totalmente ordenados.

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