La respuesta es un tipo rotundo .
Comencemos describiendo el retroceso de los paquetes de vectores. Aquí hay dos formas equivalentes de decir lo que esto significa. Por un lado, que [math] f: X \ to Y [/ math] sea un mapa de espacios y que [math] \ pi: V \ to Y [/ math] sea un [math] n [/ math] paquete de vectores reales tridimensionales en [math] Y [/ math]. Entonces el retroceso [math] f ^ {\ ast} (V) [/ math] de [math] V [/ math] a un paquete de vectores en [math] X [/ math] es literalmente el pullback-in-the- sentido de los límites dado por el límite del diagrama
[math] X \ xrightarrow {f} Y \ xleftarrow {\ pi} V. [/ math]
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Por otro lado, también es el retroceso en el sentido de precomposición del mapa de clasificación al espacio de Clasificación [matemática] Y \ a BO (n) [/ matemática] de real [matemática] n [/ mates] paquetes de vectores dimensionales.
De acuerdo, pero el retroceso tiene un significado más general que esto en topología y geometría. También puedo retroceder
- formas diferenciales,
- clases de cohomología,
- gavillas
Etcétera. En el caso de las poleas, se puede pasar al espacio etale y obtener una conexión con el retroceso categórico, pero en el caso de las formas diferenciales y las clases de cohomología no está claro qué está sucediendo.
Creo que históricamente lo que sucedió es que el término “retroceso” ha adquirido significados adicionales al generalizar desde situaciones en las que la gente estaba acostumbrada a usarlo, y no todas esas generalizaciones son compatibles. (Esto es similar a cómo la palabra “número” ha adquirido muchos significados adicionales al generalizar a partir de situaciones más familiares, por ejemplo, números reales, números complejos, pero también números cardinales, números ordinales, y no todas esas generalizaciones son compatibles. Eso es cómo suceden las cosas.)
Un significado moderno muy general de “pullback” es que es parte de los datos de una asignación a cualquier espacio de algún tipo [matemática] X [/ matemática] alguna colección [matemática] F (X) [/ matemática] de objetos “viviendo sobre” [matemáticas] X [/ matemáticas] (por ejemplo, paquetes de vectores, formas diferenciales, clases de cohomología, gavillas) y una asignación a cualquier mapa [matemáticas] f: X \ a Y [/ matemáticas] un mapa [matemáticas] f ^ {\ ast}: F (Y) \ a F (X) [/ math] satisfaciendo axiomas adecuados. Hay varias formas de formalizar esta situación dependiendo de lo complicado que sea [matemáticas] F (X) [/ matemáticas] (a veces es un conjunto o grupo abeliano, pero a veces es una categoría); véase, por ejemplo, la noción de una categoría fibrada (fibrilación de Grothendieck en nLab).
El retroceso en el sentido de los límites aparece como un caso especial de esta construcción: toma [matemática] F (X) [/ matemática] como la categoría de segmento / sobrecategoría de objetos equipados con mapas para [matemática] X [/ math] y usted define un avance [math] f _ {\ ast}: F (X) \ to F (Y) [/ math] para ser composición con [math] f [/ math]. Entonces puede tomar [math] f ^ {\ ast}: F (Y) \ to F (X) [/ math] para ser el adjunto correcto de [math] f _ {\ ast} [/ math], lo que resulta estar tomando el retroceso.
El retroceso en el sentido de precomposición aparece como otro caso especial de esta construcción: ahora tomas [matemática] F (X) [/ matemática] como el conjunto (o lo que sea) de morfismos de [matemática] X [/ math] a un objeto fijo, que es el “espacio de clasificación” de cualquier tipo de objeto que intente describir. En esta situación, no existe una noción obvia de avance en general, pero a veces (por ejemplo, en el caso de la cohomología) puede definir un avance dado en condiciones y datos adicionales.
