¿Cómo podría entender intuitivamente lo que significan el número y los logaritmos de Euler?

Imagine una gota de material con tamaño 1. Después de 1 año, hace una copia exacta de sí mismo y ahora es el doble de grande. Podríamos rastrear el tamaño de la gota de esta manera:

Ene: 1
Dic: 1 (100% + 100%) = 2

Pero, la naturaleza no solo crea cosas. Estaría creciendo todo el tiempo. Entonces, para junio, podría pensar que se haría con la mitad de su crecimiento. x (100% + 50%) = 1.5x Y luego esa cosa de tamaño 1.5 crecería de junio a diciembre 1.5x (100% + 50%) = 2.25x

Entonces, al observar más de cerca el crecimiento, vemos que la duplicación ocurre más rápidamente de lo que sospechamos. Pero echemos un vistazo más de cerca: divida el año en tercios y considere 1/3 de su crecimiento a la vez. Voy a cambiar a fracciones en lugar de% s.

(1 + 1/3) (1 + 1/3) (1 + 1/3) = ~ 2.37

Sigamos inspeccionando más de cerca:

(1 + 1/4) (1 + 1/4) (1 + 1/4) (1 + 1/4) = ~ 2.44
(1 + 1/5) (1 + 1/5) (1 + 1/5) (1 + 1/5) (1 + 1/5) = ~ 2.49
…
(1 + 1/12) ^ 12 = ~ 2.61
(1 + 1/365 ) ^ 365) = ~ 2.7146

Solo estamos en la resolución del “día” y podemos ver que siempre estamos subestimando el crecimiento real porque el crecimiento ocurre continuamente.

Entonces, la única herramienta para llegar realmente a eso es un límite. Queremos dividir el año en más partes (contarlas como “n”), luego repetir ese crecimiento tantas veces.
(límite a medida que n va al infinito de (1 + 1 / n) ^ n)

El límite existe. Llamamos a ese límite e . Tiene el valor aproximado de ~ 2.71828 .

Los logaritmos pueden considerarse intuitivamente como una función para describir el “orden de magnitud”. Otra forma de pensarlo es una “diferencia” exponencial, es decir, es una función que es la inversa del exponente o la función de potencia, así como la resta es la suma y la división es la multiplicación.

Realmente me resulta difícil entender o describir intuitivamente e, ¿tal vez podamos usar alguna propiedad de e? ¿Qué tal el número al que (1 + 1 / n) ^ n tiende como n tiende a números muy grandes? ¿O el número x en el que x ^ (1 / x) es máximo? Ninguno de los dos explica realmente por qué e debería ser de 2.73, así que no estoy seguro de si esto funciona …

El número de Euler es el límite de (1 + 1 / n) ^ n, aproximadamente 2.71

De Wikipedia [1], la fórmula para calcular el interés compuesto es
Dónde,

• A = importe final
• P = importe principal (inversión inicial)
• r = tasa de interés nominal anual (como decimal, no en porcentaje)
• n = número de veces que el interés se capitaliza por año
• t = número de años

Entonces, si P = 1, r = 100% anual, yt = 1, cuando n va al infinito, A = e
En otras palabras, si tuviera $ 1 y su interés se capitalizara un número ilimitado de veces al año (pero con una tasa de interés nominal anual del 100%), al final del año tendría e (aproximadamente $ 2.71) dólares.

[1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Com …

Logaritmos con base e, simplemente significa que intenta medir un número por la cantidad de veces que multiplica e

Entonces, si x = e * e * e = e ^ 3 (3 veces), entonces ln (x) = 3

Volviendo a la fórmula de interés compuesto, si comienza con $ 1, en t años, tendrá e ^ t dólares, por lo que una forma de ver las cosas es: si ln (x) = k, tomará k años ganar $ x dólares (suponiendo que comience con $ 1, compuesto n veces por año al 100%). Ejemplo

En (100) = 4.61, eso significa que si comienza con $ 1, r = 100%, etc., tomará 4.61 años para ganar $ 100.

La función exponencial, e ^ at, es la solución a la ecuación diferencial simple dP / dt = aP, que solo dice que la tasa de cambio de algo (digamos P = población) es proporcional (la constante a) su valor actual. Por lo tanto, la tasa a la que nacen los bebés es proporcional al número de personas en la población. Esta relación simple se traduce en la función exponencial a la base e, que se conoce como la base del logaritmo natural.

Entonces, un número “misterioso” como e surge naturalmente de los supuestos más simples (realistas). Al igual que pi resulta ser la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Constantes universales.

Es una buena pregunta, porque no encuentras una respuesta satisfactoria. He tenido muchas oportunidades de pensarlo como profesor. Estoy pensando en escribir un libro sobre eso. Aquí hay un bosquejo muy breve. He usado este enfoque en las clases durante varios años.

Un número real positivo tiene un “tamaño” multiplicativo; Lo llamo la extensión (multiplicativa) del número. Puede ver la extensión de un número mirando una escala logarítmica. (No necesita saber nada sobre los logaritmos para aprehender una escala logarítmica. Es fácil hacer un “esqueleto” de una escala logarítmica. Simplemente marque las marcas de espaciado igualmente espaciadas y rotúlelas como 1/8, 1/4, 1 / 2, 1, 2, 4, 8, etc. O use 1/10, 1, 10, 100, etc.) La extensión de 8 es tres veces la extensión de 2 porque 2 * 2 * 2 = 8; y se muestra en la escala de registro como tres extensiones de 2 apiladas. La extensión de 1/10 es opuesta a la extensión de 10; y se muestra en la escala logarítmica en la reflexión de 10 a través de 1. La extensión de 6 es la de 2 más la de 3. Las extensiones tienen propiedades simples de multiplicación a suma indicadas por estos hechos. Sin cálculo solo podemos comparar tamaños de extensiones. El logaritmo de un número x con respecto a una base b es la relación de la extensión de x a la extensión de b. Entonces, la base de registro 2 de 8 es 3; la base de registro 2 de 1/2 es -1. Y la base de registro 8 de 2 es 1/3. Puede pensar en la base b como su unidad de medida de extensión elegida. Puede ir bastante lejos, y es bastante matemático, simplemente usando las propiedades de extensiones o logaritmos.

Por cierto, un exponente es una escala de una extensión. Por ejemplo, 2 ^ pi es el número que obtienes al estirar la extensión de 2 por el factor pi. Esa escala, por supuesto, es también la relación entre la extensión de 2 ^ pi y la de 2; es decir, la base de registro 2 de 2 ^ pi es pi. Esa relación es lo que yo llamaría el teorema fundamental de los exponentes, pero desde Euler, los libros de texto lo han utilizado como definición de logaritmos, para consternación de muchos estudiantes.

Los logaritmos de precálculo, donde esencialmente solo usas propiedades, no llegan al corazón del carácter multiplicativo de los números reales positivos. Con el cálculo, podemos definir una medida adecuada de extensiones multiplicativas de números reales positivos, llamada logaritmo natural. Asigna valores numéricos reales a las extensiones. Sin preocuparse por cómo se define (también hay mucho que desear en los libros de texto a este respecto; hay una manera de hacerlo que resalta el aspecto multiplicativo de un número), el logaritmo natural de x se denota en ln ( X). Hay un número e que es la unidad de medida para esta medida numérica de extensiones; esto define e: ln (e) = 1.
Una vez que tenga esta medida definida, cualquier logaritmo se puede definir como la razón de los logaritmos naturales: la base de registro b de x es ln (x) / ln (b). Así es como las calculadoras y las computadoras calculan logaritmos.

Te daré un escenario, (imaginario, por supuesto)
digamos, si ganaras el 100% de interés (tu dinero se duplicaría) con un interés simple, ¿cuánto dinero terminarías con un interés compuesto?

Tendría ‘e’ veces el saldo de su cuenta original.

Es porque ‘e’ se puede expresar como la siguiente serie:

[matemáticas] e = 1 + 1 + \ frac {1} {2!} + \ frac {1} {3!} + \ frac {1} {4!} +… [/ matemáticas]

y si ‘x’ es cualquier número, entonces

[matemáticas] e ^ {x} = (1+ \ frac {1} {n}) ^ {nx} [/ matemáticas], cuando n tiende al infinito.

Ahora volveré a nuestra pregunta, si los intereses se capitalizan anualmente, sea r la tasa de interés, luego de x años, la cantidad acumulada de un principal dice que 1 unidades serán

[matemáticas] (1 + r) ^ {x} [/ matemáticas]

Sin embargo, si el principal tuviera el interés agregado, no al final de cada año, sino al final de p parte del año, entonces después de x años, el principal equivaldría a:

[matemáticas] (1+ \ frac {r} {p}) ^ {xp} [/ matemáticas]

Uno puede simplificar esta fórmula para tomarla durante un año, es decir
x = 1;

[matemáticas] (1+ \ frac {r} {p}) ^ {p} [/ matemáticas].

Ahora, Let p / r = n;

Así obtenemos:

[matemáticas] (1+ \ frac {1} {n}) ^ {nr} [/ matemáticas]

Ahora, si el interés se calcula a intervalos cada vez más cortos, es decir
p tiende al infinito, o n tiende al infinito, el caso límite definitivamente significará que después de un año, la cantidad total será [matemática] e ^ {r} [/ matemática] veces el principal original.
Notable no lo es!

Además, e = 2.718281828459045235360287266249 …
se utiliza como el logaritmo natural, es la única base de logaritmo natural que tiene la tasa de cambio igual a la tasa de cambio de cantidad que está cambiando.

¡Y el diferencial de [matemáticas] e ^ {x} [/ matemáticas] es [matemáticas] e ^ {x} [/ matemáticas] en sí!
¡Es la única función que permanece inalterada cuando se diferencia!

El número de Euler, o la constante de Euler, es igual a la tasa de cambio del producto de la función factorial de x y uno negativo en x = 0. La base natural o constante exponencial, e, NO es el número de Euler. Los logaritmos son los inversos de los exponenciales.