Puede escribirlo como [math] \ left (1+ \ frac 1x \ right) ^ x = \ frac {x ^ 2} {x + 1} [/ math].
Ahora, el lado izquierdo de la ecuación aparece en un límite muy importante que es la definición de [matemáticas] e [/ matemáticas]. Resulta que como [math] x \ to \ infty [/ math], esa cantidad converge a [math] e [/ math] (monotónicamente desde abajo comenzando en 1 para positivo [math] x [/ math] cerca de cero) . Resulta que la convergencia es bastante rápida, por lo que el lado izquierdo no está lejos de [matemática] e [/ matemática] incluso para valores pequeños de [matemática] x [/ matemática]. Entonces, si reemplazamos el lado izquierdo con [matemáticas] e [/ matemáticas], podemos obtener rápidamente una solución aproximada. Cuanto más grande sea la solución aproximada, más precisa será (ya que la aproximación con [math] e [/ math] mejora constantemente a medida que [math] x [/ math] crece).
Entonces, como primera aproximación, obtenemos:
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[matemática] e \ approx \ frac {x ^ 2} {x + 1} \ \ implica \ x ^ 2-ex-e \ approx 0 \ \ implica \ x \ approx \ frac e2 + \ sqrt {e + \ frac { e ^ 2} 4} [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ aprox 3.496 [/ matemáticas]
Lamentablemente, este valor no es muy grande, pero incluso cuando [math] x = \ sqrt {e + \ frac {e ^ 2} 4} [/ math], encontramos que [math] \ left (1+ \ frac 1x \ right) ^ x \ aprox 2.4 [/ math] que no está tan lejos de [math] e [/ math]. Entonces, esta solución no será tan mala.
Para refinarlo, puedes iterar. En lugar de aproximar el lado izquierdo por [math] e [/ math], sabemos que podemos hacerlo mejor al aproximarlo por [math] 2.4 [/ math]. Si lo hacemos, debemos resolver
[matemática] 2.4 \ aprox \ frac {x ^ 2} {x + 1} \ \ implica \ x \ aprox 1.2+ \ sqrt {3.84} \ aprox 3.160 [/ matemática]
Después de esta iteración, esperamos que la solución sea bastante buena, y lo es. Resulta que el error relativo en la solución ya se ha reducido a aproximadamente 0.6%.
Por supuesto, si quieres hacerlo mejor, puedes iterar una vez más. Simplemente conecte [math] 3.160 [/ math] en el lado izquierdo para obtener una nueva ecuación cuadrática:
[matemáticas] x ^ 2-2.3841x-2.3841 \ aprox. 0 \ \ implica \ x \ aprox 3.1427 [/ matemáticas]
Esta iteración adicional reduce el error relativo en otro orden de magnitud por debajo del 0,06%. Continúa como desees.
De hecho, podemos definir la respuesta por el límite de la siguiente secuencia.
Deje [math] a_0 = e [/ math]. Para enteros positivos, [matemáticas] n [/ matemáticas], deje que [matemáticas] x_ {n} = \ frac {a_ {n-1}} 2+ \ sqrt {a_ {n-1} + \ frac {a_ {n -1} ^ 2} 4} [/ math], y deja que [math] a_n = \ left (1+ \ frac 1 {x_n} \ right) ^ {x_n} [/ math].
Entonces [math] x = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n [/ math] es un límite de una secuencia que define la solución a su ecuación. Como ya hemos visto, la convergencia es muy rápida, por lo que truncar esta secuencia después de unos pocos términos dará una aproximación precisa.
Usé Octave-Online.net, para iterar y encontré
[matemáticas] x_ {15} = x_ {16} = 3.141041525410789 [/ matemáticas]
entonces la secuencia ha convergido a la precisión de esa máquina después de solo 15 iteraciones. De hecho, parece que ganamos exactamente un dígito decimal de precisión en cada iteración.
