¿Cómo se escribieron las tablas logarítmicas? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

Se incidieron en tabletas de arcilla con el extremo triangular de un palo.

Lo sentimos, no es el tipo de respuesta que quería (y tampoco es cierto, si eso importa).

Supongo que lo que quisiste decir fue “¿Cómo se calcularon las tablas logarítmicas?”.

Las primeras tablas logarítmicas, que comienzan con Napier y continúan después, se calcularon por algo así como la fuerza bruta, con mucha pluma y tinta. Sin embargo, no es tan malo como calcular un logaritmo tras otro de forma independiente. Obviamente, una tabla de logaritmos no es solo una colección aleatoria de argumentos, y hay muchas relaciones simples útiles que ayudan.

Aquí hay un ejemplo MUY simplificado para mostrar cómo funciona.

Primero, calcule ln (2). Claramente, si calcula directamente a partir de la serie Taylor, esto converge muy, muy lentamente. Entonces no lo hagas.

Comenzamos por encontrar un número cuyo logaritmo es razonablemente fácil de calcular rápidamente a partir de la serie Taylor. También podemos elegir [matemáticas] 1 + \ delta [/ matemáticas] donde [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] es “práctico” y “pequeño” – digamos, [matemáticas] 0.0001 [/ matemáticas]. Encuentra el logaritmo. Ahora podemos calcular [matemáticas] ln (1.0001 ^ s) = s ln (1.0001) [/ matemáticas] para, bueno, cualquier potencia que desee. ¡Seguramente habrá un valor de [math] s [/ math] que hace que [math] 1,0001 ^ s [/ math] sea muy cercano a 2! Elija un valor de esperanza [matemática] r [/ matemática] y calcule [matemática] 1,0001 ^ r [/ matemática] usando el teorema binomial. Ajusta y repite hasta que tengas un valor en [matemáticas] [1.9999, 2.0001] [/ matemáticas]. Ejercicio para el lector; ¿Cómo sé que hay uno?

Ahora puedo calcular [math] ln (2 / 1.0001 ^ r) [/ math] directamente de la serie Taylor; el argumento está convenientemente cerca de [math] 1 [/ math]. Pero luego puedo agregar [math] r * ln (1.0001) [/ math] y obtener [math] ln (2) [/ math].

Puedo hacer lo mismo para encontrar [math] ln (5) [/ math]. Entonces puedo encontrar [matemáticas] ln (10) = ln (2) + ln (5) [/ matemáticas]. Si quiero logaritmos briggsianos (a base 10) en lugar de logaritmos naturales (a base [matemática] e [/ matemática]), puedo usar esto para escalar los logaritmos.

[matemáticas] log_b (a) = log_e (a) / log_e (b) [/ math].

El siguiente paso de la operación es encontrar cómo hacer coincidir los números casi con productos de potencias de unos pocos números cuyos registros se calculan directamente, para que podamos tener un punto de partida para el cálculo que ya es casi correcto. Aun así, no tenemos que usar la serie Taylor para todo el resto del trabajo. Después de todo, podemos seguir dividiendo factores con registros conocidos.

Por fuerza bruta, calculamos (digamos) [matemáticas] ln (0.99995) .. ln (1.0005), ln (0.995) .. ln (1.005), ln (0.95) .. ln (1.05), ln (0.5) .. ln (1.5) [/ matemáticas]. Esto no es tan malo: podemos obtener cada conjunto de 9 valores elevando el conjunto anterior a la potencia 10 y luego calculando el registro de la relación, tal como lo hicimos al encontrar [math] ln (2) [/ math] .

Ahora tenemos un conjunto de herramientas con factores que podemos seguir multiplicando para que coincida con el número que queramos. Siga calculando un producto de ejecución de los factores utilizados hasta ahora, y una suma de ejecución de los registros; y estimar cada vez la relación entre el argumento objetivo y el producto en ejecución, para elegir el siguiente factor. Esto no tiene que hacerse un dígito a la vez; de hecho, una vez que el producto en ejecución es más o menos correcto, puede duplicar aproximadamente el número de dígitos que tiene con una sola estimación de fuerza bruta. Todo lo que estamos haciendo aquí es usar los dos primeros términos de la serie Taylor y reconocer cuán pequeña es la cola posterior de la serie, por lo que sabemos aproximadamente cuán preciso es el resultado.

Vale la pena darse cuenta de que las primeras tablas de logaritmos generalmente no daban una gran cantidad de logaritmos con una precisión muy modesta (las Tablas de 7 figuras de Chambers son un caso extremo de esto). En cambio, dieron logaritmos de argumentos mucho más dispersos con una precisión mucho más alta (quizás hasta 40 decimales), y también dieron el tipo de tabla de factores útiles con logaritmos conocidos que acabo de especificar. Una vez que las tablas de menor precisión entraron en uso general, con muchos valores, se utilizó la interpolación lineal entre los valores para el último dígito del argumento. Eso está en el “usuario” final. Sin embargo, para crear realmente las tablas, se utilizó un poco más de sofisticación. Los logaritmos se calcularon inicialmente con precisión, con una precisión de unos pocos dígitos más que la tabla final requerida, para unos pocos argumentos igualmente espaciados. Se encuentran las primeras diferencias entre los valores consecutivos, luego las segundas diferencias entre las primeras diferencias, y así sucesivamente, hasta que se pueda utilizar una fórmula de interpolación suficientemente inteligente para calcular los valores intermedios con la precisión necesaria. Balanceando el trabajo entre el número de logaritmos calculados iniciales, la necesidad de una fórmula de interpolación de alto orden para garantizar la exactitud de los resultados con la precisión requerida, la precisión necesaria para dar diferencias significativas al entrar en la fórmula de interpolación, el trabajo necesario para limitar los errores del peor de los casos con esa precisión, y la carga de usar realmente la fórmula de interpolación en sí, es difícil de optimizar. Es probable que diferentes partes del rango terminen usando diferentes espacios de argumento, o diferentes fórmulas de interpolación, o ambas.

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