Ha pasado un tiempo desde que se hizo esta pregunta, pero en ese momento hice un borrador, que acabo de encontrar nuevamente, así que aquí está mi respuesta 🙂 
Entonces estás en el cubo de arriba (imagen de la izquierda) y quieres saber qué parte de tu vista circundante está cubierta por el cuadrado rojo. Usando la simetría, sabemos que cuando estás en el medio, esto es [matemáticas] \ frac {1} {6} [/ matemáticas]
Así que ahora estás en el punto a medio camino entre el centro del cubo y el centro del cuadrado rojo (imagen superior derecha). Puede usar coordenadas polares, ya que su entorno puede proyectarse sobre una esfera concéntrica incrustada a su alrededor.
Vamos a definir:
- Si las características polinómicas son linealmente dependientes (por lo tanto, información redundante), ¿por qué se usan en la regresión polinómica?
- ¿Qué tipo de cosas hacen que un problema matemático (en, digamos, una tarea de pregrado de nivel superior del bebé Rudin o Artin) sea más difícil que otro?
- ¿Cómo pueden las matemáticas demostrar que un mundo paralelo es real?
- ¿Cuál es el siguiente objeto matemático después de grupo, anillos y campos?
- Cómo aprender [matemáticas] \ LaTeX [/ matemáticas]
- el ángulo polar [matemáticas] \ theta = 0 [/ matemáticas] delante de usted, mientras que detrás de usted [matemáticas] \ theta = \ pi [/ matemáticas].
- el ángulo azimutal [matemáticas] \ phi = 0 [/ matemáticas] sobre usted y [matemáticas] \ phi = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] a su izquierda.
- [matemáticas] S [/ matemáticas] es el lado del cuadrado
- [matemática] A (\ phi) = \ frac {\ frac {1} {2} S} {cos (\ phi)} [/ matemática] es la distancia entre el centro del cuadrado rojo y la línea que cruza el rojo y Avión amarillo.
Entonces el ángulo polar [math] \ theta [/ math] varía sobre la intersección entre el cuadrado rojo y el amarillo, dependiendo de [math] \ phi [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle \ tan (\ theta) = \ frac {A} {\ frac {1} {4} S} = \ frac {2} {cos (\ phi)} \ implica \ displaystyle \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2} {\ cos (\ phi)} \ right) [/ math]
El área roja R puede verse como ocho veces una subárea del cuadrado rojo, entre [matemática] \ phi = 0 [/ matemática] a [matemática] \ phi = \ frac {1} {4} \ pi [/ matemática] .
Esto lleva a la siguiente integral:
[matemáticas] \ displaystyle R = 8 \ int_0 ^ {\ frac {1} {4} \ pi} \ int_0 ^ {\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2} {\ cos (\ phi)} \ right)} \ sin (\ theta) \, d \, \ theta \, d \, \ phi [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = 8 \ int_0 ^ {\ frac {1} {4} \ pi} \ left (- \ cos (\ theta) \ right | _0 ^ {\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2} {\ cos (\ phi)} \ right)} \, d \, \ phi [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = 8 \ int_0 ^ {\ frac {1} {4} \ pi} 1 – \ cos \ left (\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2} {\ cos (\ phi )} \ right) \ right) \, d \, \ phi [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = 8 \ int_0 ^ {\ frac {1} {4} \ pi} \ left (1 – \ frac {1} {\ sqrt {4 \ sec ^ 2 {\ phi} +1}} \ derecha) \, d \, \ phi [/ math]
[matemáticas] = 8 \ left (\ phi – \ frac {\ sqrt {\ cos (2 \ phi) +9)} \ sec (\ phi) \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ sqrt { 2} \ sin (\ phi)} {\ sqrt {\ cos (2 \ phi) +9}} \ right)} {\ sqrt {(8 \ sec ^ 2 {\ phi} +2)}} \ right | _0 ^ {\ frac {1} {4} \ pi} [/ math]
[matemáticas] = 8 \ left (\ left (\ frac {1} {4} \ pi – \ tan ^ {- 1} (\ frac {1} {3}) \ right) – 0 \ right) [/ math ]
[matemáticas] = 2 \ pi – 8 \ tan ^ {- 1} (\ frac {1} {3}) [/ matemáticas]
Entonces, la fracción en comparación con el entorno completo [matemáticas] 4 \ pi [/ matemáticas] es:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} – \ frac {2} {\ pi} \ tan ^ {- 1} (\ frac {1} {3}) [/ matemáticas]
, donde ayb son ángulos de vértice de esta pirámide. 