Si a! \ B! es divisible por 4, pero no por 8, entonces, ¿cuál es el valor máximo de a – b?

Primero, encontremos un buen límite inferior. Inmediatamente sabemos que [matemáticas] \ frac {5!} {2!} = \ Frac {120} {2} = 60 [/ matemáticas], que es divisible por [matemáticas] 4 [/ matemáticas] pero no por [ matemáticas] 8 [/ matemáticas]. Entonces, cuando sepa que la diferencia máxima es al menos [matemática] 3 [/ matemática].

Veamos [matemáticas] \ frac {(b + 4)!} {B!} = (B + 4) (b + 3) (b + 2) (b + 1) [/ matemáticas], donde [matemáticas] b [/ math] es un entero no negativo. Cada uno de esos factores adquiere un módulo de valor distinto [matemática] 4 [/ matemática]. Es importante destacar que uno de estos números es un múltiplo de [matemáticas] 4, [/ matemáticas] y otro es un múltiplo de [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Entonces [math] \ frac {(b + 4)!} {B!} [/ Math] es necesariamente un múltiplo de [math] 8 [/ math], lo cual no es bueno. Y, de hecho, para cualquier número entero [math] k> 3 [/ math], tenemos que [math] 8 [/ math] divide [math] \ frac {(b + k)!} {B!} [/ Math] por la misma razón. Por lo tanto, el valor máximo de [math] ab [/ math] es [math] 3 [/ math].

El máximo es tres. A modo de contradicción, suponga que existe a, b tal que ab> 3. Por ahora, deje a – b = 4. ¡Entonces a! / b! = a * (a-1) * (a-2) * (a-3). Debido a que tenemos cuatro números consecutivos, sabemos que dos deben ser divisibles por dos y uno (de estos dos) debe ser divisible por cuatro. Por lo tanto, 4 * 2 = 8 divide su producto. Esto también es válido para cualquier diferencia mayor o igual a cuatro.

Para mostrar el caso de menos de cuatro, deje a = 5, b = 2, luego 5! / 2! = 5 * 4 * 3 = 60, que no es divisible por 8 pero es divisible por 4.