Voy a suponer que [math] z, a, b \ in \ mathbb C [/ math].
Por la desigualdad del triángulo ,
[matemáticas] | ab | = | (zb) – (za) | \ le | zb | + | za | [/ matemáticas].
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Además, si [math] z [/ math] es cualquier punto en el segmento de línea que une [math] a [/ math] y [math] b [/ math], de modo que [math] z = (1-t) a + tb [/ math], con [math] 0 \ le t \ le 1 [/ math],
[matemáticas] | za | + | zb | = | t (ba) | + | (1-t) (ab) | = t | ba | + (1-t) | ab | = | ab | [/ matemáticas].
( Esta igualdad es bastante obvia geométricamente ).
Por lo tanto, el valor mínimo de [math] | za | + | zb | [/ math] es [math] | ab | [/ math], y se alcanza por todos los puntos [math] z [/ math] que se encuentran en la línea segmento que une [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
