Existe una solución general a las ecuaciones cúbicas. Se llama la solución de Cardan y puede encontrar un ejemplo aquí.
Definamos [matemática] p: = 4a – [/ matemática] 3 y [matemática] q: = 4 [/ matemática], para que podamos reescribir la ecuación como
[matemáticas] x ^ 3 = px + q [/ matemáticas].
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Primero podemos ver el caso donde [math] p = 0 \ Leftrightarrow a = \ frac {3} {4} [/ math]. En este caso, simplemente tenemos [matemáticas] x ^ 3 = 4 \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] x = \ sqrt [3] {4} [/ matemáticas].
Ahora veamos el caso donde [math] p \ neq 0 [/ math], y escribamos [math] x [/ math] como [math] x = u + v, [/ math] para algunos [math] u , v \ in \ mathbb {C} [/ math].
Sabemos que [math] x ^ 3 = (u + v) ^ 3 = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uv (u + v) = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uvx [/ math], ya que [math ] x = u + v [/ matemáticas]. También sabemos que para una [matemática] x [/ matemática] dada, [matemática] x = u + v [/ matemática] tiene un número infinito de soluciones en [matemática] u [/ matemática] y [matemática] v [/ matemática ], para que podamos hacer que la solución sea única definiendo otra ecuación. Tomemos [math] uv = \ frac {p} {3} \ implica v = \ frac {p} {3u} [/ math] siempre que [math] u \ neq 0 [/ math], que se encuentre en reversa suposición [matemática] p \ neq 0 [/ matemática].
Ahora tenemos [matemáticas] x ^ 3 = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uvx = u ^ 3 + v ^ 3 + px = px + q, [/ matemáticas] así que obtenemos
[matemáticas] u ^ 3 + v ^ 3 = q [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow u ^ 3 + \ frac {p ^ 3} {(3u) ^ 3} = q. [/ matemáticas]
Ahora podemos definir una sustitución [matemática] t: = u ^ 3 [/ matemática], y por simplicidad [matemática] m: = \ frac {p ^ 3} {3 ^ 3} [/ matemática]. Ahora
[matemáticas] t + \ frac {m} {t} = q \ Leftrightarrow [/ matemáticas]
[matemáticas] t ^ 2-qt + m = 0 \ implica t_ {1,2} = \ frac {q \ pm \ sqrt [] {q ^ 2-4m}} {2}. [/ matemáticas]
De la sustitución anterior obtenemos
[matemáticas] u_ {1,2} = \ sqrt [3] {\ frac {q \ pm \ sqrt [] {q ^ 2-4m}} {2}} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ izquierda [\ frac {q} {2} \ pm \ left [\ left (\ frac {q} {2} \ right) ^ 2- \ left (\ frac {p} {3} \ right) ^ 3 \ right] ^ { \ frac {1} {2}} \ right] ^ {\ frac {1} {3}} [/ math].
Desde aquí también podemos obtener el valor de [math] v [/ math] (desde la simetría es posible adivinar [math] v_ {1,2} = u_ {2,1} [/ math]). Después de sustituir todo, obtenemos la solución:
[matemáticas] x = u + v [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left [\ frac {q} {2} + \ left [\ left (\ frac {q} {2} \ right) ^ 2 – \ left (\ frac {p} {3} \ right) ^ 3 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right] ^ {\ frac {1} {3}} + \ left [\ frac {q} {2} – \ left [\ left (\ frac {q} {2} \ right) ^ 2 – \ left (\ frac {p} {3} \ right) ^ 3 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right] ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left [2 + \ left [4 – \ left (\ frac {4a-3} {3} \ right) ^ 3 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right] ^ {\ frac {1} {3}} + \ left [2 – \ left [4 – \ left (\ frac {4a-3} {3} \ right) ^ 3 \ right] ^ {\ frac {1} { 2}} \ right] ^ {\ frac {1} {3}} [/ math] [math]. [/ Math]
