No puede haber uno.
Cualquier elemento del grupo genera un subgrupo, por lo que el grado de cada elemento divide el orden del grupo. Si el grupo tiene orden primo [matemáticas] p [/ matemáticas], los únicos grados posibles son [matemáticas] 1 [/ matemáticas] (solo el elemento de identidad) y [matemáticas] p [/ matemáticas] (todo lo demás). Por lo tanto, cada elemento de no identidad genera el grupo completo.
Simplemente elija un elemento que no sea de identidad [math] g [/ math]. Cualquier producto de elementos [matemáticas] ab = (g ^ r) (g ^ S) = (g ^ S) (G ^ r) = ba [/ matemáticas]
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La igualdad media allí es fácil, pero se divide en diferentes casos.
[matemáticas] r = s [/ matemáticas]: ¡nada que hacer!
[matemáticas] r <s [/ matemáticas]:
[matemáticas] (g ^ r) (g ^ s) = (g ^ r) ((g ^ {sr}) (g ^ r)) = ((g ^ r) (g ^ {sr})) (g ^ r) = (g ^ s) (g ^ r) [/ matemáticas]
[matemáticas] r> s [/ matemáticas]:
[matemáticas] (g ^ r) (g ^ s) = ((g ^ s) (g ^ {rs)) (g ^ s) = (g ^ s) ((g ^ {rs}) (g ^ s )) = (g ^ s) (g ^ r) [/ math]
donde el paso crítico para los últimos casos es una aplicación directa de la ley asociativa.
Es más elegante, pero menos directo, mostrar que una sola instancia de [math] g [/ math] se puede cambiar entre productos de poderes de [math] g [/ math] usando la ley asociativa, por lo que importar”. Solo pensé que lo haría directamente para variar.
