Hay muchas definiciones de la función exponencial. El que usaré es
[matemáticas] \ displaystyle e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (1 + \ tfrac {x} {n}) ^ n [/ math]
que se define fácilmente después de la definición del número [math] e [/ math] en sí.
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Asumiré que el lector conoce el teorema binomial. Aplicado al término entre paréntesis en el lado derecho tenemos
[matemáticas] \ displaystyle (1 + \ tfrac {x} {n}) ^ n = 1 + x + \ binom {n} {2} \ frac {x ^ 2} {n ^ 2} + \ binom {n} {3} \ frac {x ^ 3} {n ^ 3} + \ ldots + \ frac {x ^ n} {n ^ n}. [/ Math]
Aquí, los coeficientes binomiales están dados por
[matemáticas] \ displaystyle \ binom {n} {k} = \ frac {n!} {k! (nk)!}, \ n \ in \ mathbb {N}, \ 0 \ le k \ le n. [/ math]
También supondré que el lector conoce las reglas básicas para los límites de las combinaciones de funciones.
Esta prueba se concentrará en los valores positivos de [matemáticas] h. [/ math] Los valores negativos se manejan de manera similar. Fije un valor de esta cantidad y considere
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {e ^ h-1} {h}. [/matemáticas]
Usamos la definición anterior para reescribir esto como
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (1 + \ tfrac {h} {n}) ^ n-1} {h}. [/matemáticas]
Me gustaría señalar que el orden de los límites es importante. Todavía estamos interesados en tomar el límite ya que [math] h [/ math] va a cero, pero eso sucederá al final. El denominador de la cantidad anterior es una constante con respecto a la variable [matemática] n [/ matemática] por lo que podemos mover el límite fuera del cociente y centrarnos en la cantidad
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {h} \ left ((1 + \ tfrac {h} {n}) ^ n – 1 \ right). [/matemáticas]
Aplicamos el teorema binomial para obtener
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {h} \ left (1 + h + \ binom {n} {2} \ frac {h ^ 2} {n ^ 2} + \ binom {n} {3} \ frac {h ^ 3} {n ^ 3} + \ ldots + \ frac {h ^ n} {n ^ n} – 1 \ right). [/ math]
Después de cancelar el 1 y dividirlo entre [matemáticas] h, [/ matemáticas] nos queda con
[matemáticas] \ displaystyle 1 + \ frac {n (n-1)} {2!} \ frac {h} {n ^ 2} + \ frac {n (n-1) (n-2)} {3! } \ frac {h ^ 2} {n ^ 3} + \ ldots + \ frac {h ^ {n-1}} {n ^ n}. ^ * [/ math]
Como [math] h [/ math] es un valor positivo fijo, podemos calcular el límite de este fácilmente. Un paso intermedio sería cancelar las variables y mostrar que ningún término aumenta a medida que aumenta [matemática] n [/ matemática]:
[matemáticas] \ displaystyle 1 + \ frac {(1–1 / n)} {2!} h + \ frac {(1–1 / n) (1-2 / n)} {3!} h ^ 2 + \ ldots + \ frac {h ^ {n-1}} {n ^ n}. [/matemáticas]
Tomando el límite como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math] tenemos una suma de términos con potencia creciente en la variable [math] h. [/ matemáticas] Y si ahora tomamos ese límite, obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ rightarrow 0} 1 + \ frac {h} {2} + \ frac {h ^ 2} {3!} + \ ldots + 0 = 1 [/ math]
* En este punto puedo hacer trampa y cambiar los límites sin dar justificación (todos los términos son polinomios, y la función es uniformemente continua, y se aplica el Teorema de Fubini, y probablemente algo relacionado con el teorema de Hahn-Banach).
