Hay muchas secuencias de números racionales, incluidas muchas secuencias que enumeran todos los miembros del conjunto completo, [math] \ mathbb Q [/ math], de números racionales que muestran que [math] \ mathbb Q [/ math] es contable .
Dada tal secuencia completa, podemos intercambiar claramente dos elementos para obtener una nueva secuencia completa, por lo que no existe la secuencia completa. Enumerar Rationals es complicado por el hecho de que cada Rational tiene múltiples representaciones. Por ejemplo, un tercio puede representarse como [matemáticas] \ frac13, \ frac26, \ frac6 {18} [/ matemáticas], y así sucesivamente. Como señala Michael Lamar, eso no complica la prueba de que los Racionales son contables, pero una enumeración no debería tener duplicados.
Los racionales positivos se pueden enumerar, por ejemplo, mediante la secuencia de Calkin-Wilf, solo siga la espiral roja:
- ¿Cuál es la fórmula de suma de [math] \ zeta (3) [/ math]?
- ¿Cuál es la diferencia entre redondear hacia arriba, redondear hacia abajo y redondear?
- Vendo frijoles a $ 1.20 / kg y semillas a $ 1.50 / kg. Quiero hacer una mezcla de 120 kg de frijoles y semillas por $ 1.32 / kg. ¿Cuántos kg de frijoles debo usar?
- ¿Cuál es el papel de la optimización convexa en los problemas de asignación de energía en la comunicación inalámbrica, por ejemplo, en sistemas basados en OFDM?
- ¿Qué es exactamente un resto en la división?
(Fuente: Archivo: Calkin-Wilf spiral.svg – Wikipedia)
Este es un recorrido transversal del árbol binario de Calkin-Wilf: cada nodo [matemáticas] \ frac {a} {b} [/ matemáticas] tiene dos hijos, [matemáticas] \ frac {a} {a + b} [ / math] y [math] \ frac {a + b} {b} [/ math], que cubren convenientemente todos los racionales positivos.
Por supuesto, no existe una secuencia completa de números racionales que conserve su orden habitual. ¿Por qué? Bueno, para empezar, no hay un número racional positivo más pequeño: el número que vendría inmediatamente después de cero en una secuencia ordenada.
