Si.
Construiremos dicha función a partir de ‘bloques de construcción’ del formulario
[matemáticas] f_ {a, b} (x) = 1 _ {[a, b]} (x) \ cdot \ sin \ left (\ pi \ frac {xa} {ba} \ right) [/ math]
De acuerdo, tal vez eso se vea complicado. Básicamente, sin embargo, es un arco sinusoide que es [matemática] 0 [/ matemática] en [matemática] x = a [/ matemática] y [matemática] x = b [/ matemática], y alcanza un máximo de [matemática] 1 [/ math] en el punto medio. Lejos del intervalo [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas], es cero.
La integral de [math] f_ {0, \ pi} [/ math] es [math] 2 [/ math] (puede usar trigonometría para verificar esto usted mismo; notará que es equivalente a la integral del seno de [ matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] \ pi [/ matemática].) Además, dado que la integral de un arco sinusoidal se escala con el ancho (suponiendo una amplitud constante [matemática] 1 [/ matemática]), tenemos más resultado general que
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_ {a, b} = 2 \ frac {ba} \ pi [/ math]
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Ahora estamos listos para construir nuestra función [math] f [/ math]. En cada entero positivo [matemática] i [/ matemática], coloque un arco sinusoidal de ancho [matemática] \ frac1 {2 ^ i} [/ matemática]. Formalmente, eso es
[matemáticas] f = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty f_ {i, \ left (i + \ frac1 {2 ^ i} \ right)} [/ math]
La integral del primer arco de este tipo es [matemática] \ frac1 \ pi [/ matemática], la segunda es [matemática] \ frac1 {2 \ pi} [/ matemática], la tercera [matemática] \ frac1 {4 \ pi} [/ matemáticas], y así sucesivamente. La suma de sus integrales (y, por lo tanto, la integral de su suma) se aproxima a [math] \ frac1 \ pi [/ math] como [math] i \ to \ infty [/ math].
Debería ser obvio que [math] f [/ math] no es convergente; cada arco aún alcanza [matemática] 1 [/ matemática] (cada vez más rápido), antes de regresar a [matemática] 0 [/ matemática] (cada vez más rápido) y permanecer allí durante el resto de la celda entera. El truco es que los arcos, mientras permanecen a una altura constante, se vuelven cada vez más estrechos, de modo que la suma de sus integrales (una serie geométrica decreciente) converge.
También es de vital importancia que el espacio entre ellos aumente a medida que [math] i [/ math] crezca (para que aún comiencen la distancia [math] 1 [/ math] aparte), pero te dejaré descubrir por qué.
