Cómo calcular la forma decimal de la raíz 3

La técnica que use depende de las herramientas que tenga disponibles. En todos los casos, recuerde que su forma decimal será una aproximación, ya que la raíz cuadrada de 3 es irracional, lo que significa que no puede expresarse como una razón de dos números enteros, es decir, como una razón o fracción. Por lo tanto, una y siete décimas es una estimación, al igual que una y setenta y tres centésimas.

Si tiene el navegador Chrome y una conexión a Internet, puede escribir “raíz cuadrada de 3” en la barra de búsqueda de Google y ‘calcular’.

O puede dejar que la aplicación calculadora lo calcule.

O, si tiene Google Sheets o Microsoft Excel u otro software de hoja de cálculo, puede ingresar la función de hoja de cálculo para la raíz cuadrada en una celda, donde el valor es “3”, ya sea codificado en la fórmula de la celda o ingresado en un campo separado .

O utilice la función de calculadora de un teléfono o una calculadora independiente.

Si tiene una tabla de logaritmos, puede buscar el registro de 3, dividirlo entre dos e interpolar el anti-registro de ese cociente.

Si tiene un trozo de papel, un bolígrafo y una regla, puede elegir una esquina y medir una pulgada o 10 centímetros en un borde. Etiquete que A. Desde A, mida dos pulgadas o 20 centímetros, girando la regla para que la longitud marque exactamente dónde la regla deja el borde adyacente de la página. Marque ese punto B. La distancia desde la esquina hasta el punto B es una raíz cuadrada de 3 pulgadas, o diez veces la raíz cuadrada de 3, en centímetros.

Si no desea dibujar líneas o doblar papel, puede abordarlo como un problema de división larga. Un truco donde se crea el divisor, dígito por dígito, a medida que se hace la división. Eliges dígitos que te acercan, pero no sobre el cociente que tiene los mismos dígitos. El dividendo, el número dentro de esa llave de división, es 3. Con prueba y error, repites, dígito por dígito, hasta que tengas la precisión requerida.

Nota: si su calculadora solo tiene las cuatro funciones aritméticas, básicamente realiza el mismo proceso, el método de artillería. Adivinar. Ingrese 3, divida por su suposición hasta ahora. Si el resultado es más pequeño de lo que imagina, elija un número un poco más pequeño. Si el número es mayor que su estimación, aumente su estimación. Repita hasta que esté satisfecho. O cansado

Necesitamos dos aproximaciones muy aproximadas primero. Digamos 1.5 y 2.

[matemáticas] \ begin {matrix} 1.5 & <& \ sqrt 3 & <& 2 \\ 0 & <& \ displaystyle \ sqrt 3- \ frac 32 & <& \ dfrac 12 \\ 0 & <& \ dfrac {21} 4-3 \ sqrt 3 & <& \ dfrac 14 \\ 0 & <& \ dfrac {873} {16} - \ dfrac {63} 2 \ sqrt 3 & <& \ dfrac 1 {16} \\ 0 & <& {97} {56} - \ sqrt 3 & <& \ dfrac 1 {504} \ end {matrix} [/ math]

Si continuamos el proceso de cuadratura, podemos obtener una mejor aproximación. Este método se simplifica aún más al método de Babilonia, pero creo que esta es la forma más fácil de entender.

Otra forma es por fracción continua.

[matemáticas] \ textrm {Let} y = \ sqrt 3 \ textrm {y} z = y-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} (y-1) (y + 1) & = y ^ 2-1 \\ \; & = 2 \\ z & = \ dfrac 2 {2 + z} \\ \; & = \ dfrac 1 {1+ \ frac z2} \\ \; & \ displaystyle = \ frac 1 {1+ \ frac 1 {2 + z}} \\ \; & \ displaystyle = \ frac 1 {1+ \ frac 1 {2+ \ frac 1 {1+ \ frac 1 {2 + z}}}} \ end {align} [/ math]

Entonces, si usamos la notación de fracción continua, tenemos

[matemáticas] \ sqrt 3 = \ left [1; 1,2,1,2,1,2, \ cdots \ right] [/ math]

Entonces, si queremos estimar la raíz cuadrada, simplemente truncamos esto, digamos

[matemáticas] \ dfrac {p_5} {q_5} = \ left [1; 1,2,1,2,1 \ right] [/ math]

Y calcular eso. Una vez que enumere las estimaciones desde el principio, puede intentar encontrar la siguiente estimación mediante un método más rápido, pero esto se deja al lector como ejercicio.

Me gustó la respuesta de Alex Peter a ¿Cómo calculo la forma decimal de la raíz 3? porque era computacional

Mostraré otro método computacional.

El método de Newton-Raphson.

[matemáticas] \ sqrt {3} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-3 = 0 [/ matemáticas]

Ahora que tengo la ecuación en la forma [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas], podemos usar el método de Newton-Raphson para obtener una aproximación numérica. Método de Newton – Wikipedia

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {(x_n) ^ 2 – 3} {2x_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {x_n} {2} + \ dfrac {3} {2x_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ dfrac {x_n} {2} + \ dfrac {3} {2x_n} [/ matemáticas]

La única pregunta es con qué valor desea comenzar. Quizás desee comenzar con la interpolación lineal como otros han sugerido:

[matemáticas] \ sqrt {1} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {4} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {3} \ aprox 2 – \ dfrac {4-3} {4-1} (2-1) = 2 – \ dfrac {1} {3} = \ dfrac {5} {3} [ /matemáticas]

Por lo tanto, podríamos comenzar con [math] x_0 = \ dfrac {5} {3} = 1. \ overline {6} [/ math]

Eso daría:

[matemáticas] x_1 = \ dfrac {26} {15} = 1.7 \ overline {3} [/ matemáticas]

Eso es correcto si lo redondeas a 1.73

[matemáticas] x_2 = \ dfrac {1351} {780} = 1.73 \ overline {205128} [/ matemáticas]

Eso es correcto si lo redondeas a 1.732051

[matemáticas] x_3 = \ dfrac {3650401} {2107560} \ aprox 1.732050807568942283968190703941999278786843554 [/ matemáticas]

Eso es correcto si lo redondea a 1.7320508075689

[matemáticas] x_4 = \ dfrac {26650854921601} {15386878263120} \ aprox 1.73205080756887729352744634272516609946178139 [/ matemáticas]

Eso es correcto si lo redondea a 1.73205080756887729352744634

Puede ver que la precisión aumenta muy rápidamente con este método, el número de dígitos exactos cercanos al doble cada vez.

Una forma directa es reducir la búsqueda sucesivamente.

Primer paso: [matemática] 1 ^ 2 <3 [/ matemática] y [matemática] 2 ^ 2> 3 [/ matemática] entonces [matemática] 1 <\ sqrt {3} <2 [/ matemática].

Segundo paso: verifique el segundo dígito. Eventualmente encontrará que [matemáticas] 1.7 ^ 2 <3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1.8 ^ 2> 3 [/ matemáticas]. Y así.

Hay muchos métodos, pero me gustaría utilizar esta pregunta para mencionar la fracción continua.

Si quieres tener una raíz cuadrada de n, entonces representala como [math] n = a ^ 2 + b [/ math]

Ahora la fracción continua para [math] \ sqrt {n} [/ math] es

[matemáticas] a + \ frac {b} {2a + \ frac {b} {2a + \ frac {b} {2a +…}}} [/ matemáticas]

Podemos tomar lo que ayb que queramos. En su caso, es mejor tomar 3 = 2 ^ 2–1

haciendo el resultado

[matemáticas] \ sqrt {3} = 2- \ frac {1} {4- \ frac {1} {4- \ frac {1} {4-…}}} [/ matemáticas]

Más términos tomas resultados más precisos.

[matemáticas] 2- \ frac {1} {4- \ frac {1} {4- \ frac {1} {4}}} = \ frac {97} {56} \ aproximadamente 1.7321… [/ matemáticas]

mientras que el valor real comienza 1.7320

Manualmente no hay más que pocas multiplicaciones triviales y una división.

Usa una calculadora.

[matemáticas] \ sqrt {3} \ aprox 1.73 [/ matemáticas]

Sin aproximación

[matemáticas] \ sqrt {3} = 1.73205080757 [/ matemáticas]

También puede obtener una aproximación sin usar una calculadora.

En primer lugar, lo sabemos;

[matemáticas] \ sqrt {4} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {1} = 1 [/ matemáticas]

De esto, sabemos que [math] \ sqrt {3} [/ math] debe estar entre estas dos raíces cuadradas.

Podemos ponerlo en forma de;

[matemáticas] 2> \ sqrt {3}> 1 [/ matemáticas]

Sé que esto no te dará una respuesta exacta, pero es bueno pensarlo de esta manera.

Puedes usar una calculadora o usar el Método de Newton para encontrar las raíces de [matemáticas] y = x ^ 2-3 [/ matemáticas]

Haga [math] x_0 [/ math] su conjetura original (usaré 2) y considere:

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n- \ frac {x_n ^ 2-3} {2x_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 \ aprox 1.73 \ aprox \ sqrt {3} [/ matemáticas]