Digamos que tiene una secuencia monotónicamente creciente, cuya primera entrada es 1, como los enteros.
1, 2, 3, 4, …
Imagine que cada entrada tiene una propiedad llamada “amplitud”, que siempre es mayor que la de la entrada que la precedió. Si multiplica dos entradas juntas, obtiene un número cuya “amplitud” es mayor que la de cada uno de los dos números originales.
Ahora imagine que había un tipo diferente de número cuya “amplitud” era mayor que cualquier número que pudiera aparecer en cualquier parte de esta secuencia. Aunque no aparece en esta secuencia, vamos a teorizar que existe. Tiene un tipo diferente de amplitud llamada “amplitud extrema” que es, en cierto sentido, la máxima amplitud posible. Si multiplica cualquier número en la secuencia por este número con “amplitud extrema”, no puede obtener un número con amplitud mayor que los dos números originales, ya que uno ya tiene la amplitud máxima, por lo que solo obtiene el número con “amplitud extrema “que es el mismo número que tenía antes.
Digamos que tiene una secuencia monotónicamente decreciente, cuya primera entrada es 1, como los enteros recíprocos.
1, 1/2, 1/3, 1/4, …
Imagine que cada entrada tiene una propiedad llamada “pequeñez”, que siempre es mayor que la de la entrada que la precedió. Si multiplica dos entradas juntas, obtendrá un número cuya “pequeñez” es mayor que la de cada uno de los dos números originales.
Ahora imagine que había un tipo diferente de número cuya “pequeñez” era mayor que cualquier número que pudiera aparecer en cualquier parte de esta secuencia. Aunque no aparece en esta secuencia, vamos a teorizar que existe. Tiene un tipo diferente de pequeñez llamado “pequeñez extrema” que es, en cierto sentido, la pequeñez máxima posible. Si multiplica cualquier número en la secuencia por este número con “pequeñez extrema”, no puede obtener un número con pequeñez mayor que los dos números originales, ya que uno ya tiene la pequeñez máxima, por lo que simplemente obtiene el número con “pequeñez extrema” “que es el mismo número que tenía antes.
Si multiplica un número con amplitud por un número con pequeñez, obtendrá un número cuyo valor se encuentra entre los dos números iniciales. Sin embargo, si multiplica un número con pequeñez por el número con extrema amplitud, aún obtiene el número con extrema amplitud, porque la pequeñez del primer número no es suficiente para superar la extrema amplitud del segundo número. Del mismo modo, si multiplica un número con amplitud por un número con extrema pequeñez, aún obtiene el número con extrema pequeñez, porque la amplitud del primer número no es suficiente para superar la extrema pequeñez del segundo número.
Sin embargo, ¿qué sucede si multiplica el número con extrema amplitud por el número con extrema pequeñez? En este caso, la extrema amplitud del primer número es capaz de superar la extrema pequeñez del segundo número. Del mismo modo, la extrema pequeñez del segundo número es capaz de superar la extrema amplitud del primer número. La amplitud extrema del primer número y la pequeñez extrema del segundo número se anulan mutuamente, y obtienes un número sin amplitud extrema ni pequeñez extrema.
Así que aquí están los nombres comunes de estos números.
número con extrema pequeñez – cero
número con pequeñez pero no pequeñez extrema – número entre cero y uno
número sin pequeñez ni amplitud: uno
número con amplitud pero no con amplitud extrema – número entre uno e infinito
número con extrema amplitud – infinito
número sin pequeñez extrema ni amplitud extrema – número entre cero e infinito
Puede completar una tabla que muestre qué respuesta obtiene si multiplica cada uno de los tipos de números anteriores con cada uno de los tipos de números anteriores. Aquí, no tengo una forma de dibujar una tabla, así que solo enumeraré algunos resultados.
Si multiplica dos números entre cero y uno, obtendrá un número entre cero y uno, más pequeño que los otros dos.
Si multiplica dos números entre uno e infinito, obtendrá un número entre uno e infinito, más grande que los otros dos.
Si multiplica un número entre cero y uno por un número entre uno e infinito, obtendrá un número cuyo valor se encuentra entre los dos primeros.
Si multiplica un número entre cero e infinito por uno, obtendrá exactamente el mismo número.
Si multiplica un número entre cero e infinito por cero, obtendrá cero.
Si multiplicas un número entre cero e infinito por infinito, obtienes infinito.
Si multiplica uno por uno, obtiene uno.
Si multiplica cero por cero, obtiene cero.
Si multiplicas infinito por infinito, obtienes infinito.
Si multiplica cero por infinito, obtiene un número entre cero e infinito.
Escribirías esto como
0 x infinito = R +, que son todos los números reales positivos.
Cualquier número real positivo obedecería esta ecuación, así que escojamos 1.
0 x infinito = 1
Puede reorganizar esta ecuación de las dos maneras siguientes.
1/0 = infinito
1 / infinito = 0
Esto es un alivio porque esto es intuitivamente lo que esperarías desde
Como x -> 0, 1 / x -> infinito
Como x -> infinito, 1 / x -> 0
Entonces, si tomas el límite, a la cálculo, terminas con
1/0 = infinito
1 / infinito = 0
Siendo ese el caso, ¿por qué a veces escuchas a la gente decir que “no puedes” dividir por cero?
Con todos los problemas matemáticos, primero debe especificar de qué conjunto selecciona las respuestas, lo que significa qué conjunto considera respuestas permitidas. Los enteros se cierran bajo suma, lo que significa que si agrega dos enteros, se garantiza que la respuesta también será un entero. Sin embargo, los enteros no están cerrados por división. Si divide dos enteros, puede obtener un número entero, como 4/2 = 2, pero es posible que no obtenga un número entero, como 1/2. Lo que eso significa es que, si eliges, los enteros para ser el conjunto de respuestas permitidas, no puedes dividir 1 por 2, porque la respuesta, en este caso 1/2, no está dentro del conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige que el conjunto de respuestas permitidas no sean los enteros, sino los números reales, entonces se le permitirá dividir 1 por 2, ya que 1/2 es uno de los números reales.
Cuando a los niños se les enseñan raíces cuadradas, se les dice que se pregunten “¿Qué número multiplicado por sí mismo da ese número?” Se les enseña a hacer aritmética con números negativos diciéndoles: “Si multiplica dos números con el mismo signo, la respuesta es positiva. Si multiplica dos números con signo opuesto, la respuesta es negativa”. Si luego le preguntaras al mismo niño “¿Cuál es la raíz cuadrada de -1?”, Se reirían y dirían: “No hay respuesta” o “No tienes permitido sacar la raíz cuadrada de -1”, porque un número tiene que ser el mismo signo que él mismo. Lo que están haciendo sin darse cuenta es seleccionar los números reales como el conjunto de respuestas permitidas. Si selecciona los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, entonces es cierto que no se le permite sacar la raíz cuadrada de -1, ya que la respuesta, en este caso, el número imaginario i, no es un miembro del conjunto de números reales, que ha elegido como su conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige que su conjunto de respuestas permitidas sea, no los números reales, sino el conjunto de números complejos, entonces se le permitirá tomar la raíz cuadrada de -1, ya que la respuesta, i, ahora aparece dentro del conjunto de respuestas permitidas
Por razones históricas, el conjunto de números reales incluye cero pero no incluye infinito. Para permitir el infinito, debe usar un conjunto diferente de respuestas permitidas, “RU infinity”, que son básicamente los números reales y también el infinito. Si elige los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, no se le permitirá dividir por cero ya que la respuesta, en este caso infinito, no es uno de los números reales y, por lo tanto, no está dentro del conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige “los números reales y el infinito” como su conjunto de respuestas permitidas, entonces se le permitirá dividir por cero, ya que ahora la respuesta, en este caso infinito, ahora está dentro del conjunto de respuestas permitidas.
La razón por la cual muchas personas, sin darse cuenta, seleccionan los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, al igual que el niño que aún no ha sido expuesto a números complejos, es porque, por razones prácticas, a menudo es deseable excluir el infinito. En física, si aparecen infinitos, indica que la teoría se rompe en esos puntos y ya no es predictiva. Es por eso que Feynman inventó la renormalización. En ingeniería, si aparecen infinitos, sugiere que lo que intentas construir se romperá físicamente. Sin embargo, en matemáticas, se le permite tratar con el infinito, y hay ramas de las matemáticas dedicadas al estudio del infinito.
Desafortunadamente, algunas personas tienen una razón más estúpida para declarar “no se puede dividir por cero”, que es simplemente que se les enseñó eso en la escuela, y simplemente aceptan ciegamente lo que se les enseñó en la escuela, y por el resto de sus vidas. , nunca se pregunte por qué es verdad, ni se pregunte si es verdad. Se les enseñó a no pensar sino a regurgitar ciegamente lo que el maestro les dice, que es la “respuesta correcta”, y si usted dice algo más, es la “respuesta incorrecta”, y por lo general el maestro no sabía mucho sobre el sujeto en primer lugar.
